I . 2 . 3 . 4 . . . ;i = iXine-^'n^-^i

qui est très approchée, si le nombre n est considérable. M. J. Serret a déduit cette formule de celle de Wallis, comme nous allons l'indiquer. Posons

|/'27re~^x*+?

Cette fonction jouit des propriétés suivantes : ((3) lim^ii^ = i,

où w désigne un nombre qui augmente indéfiniment. En effet, conformément à la définition de 9, on a

[cp(w)]* (i .2.3.. 7iV j/27re"2'»(2w)''»+2

9(2^) {\/^e-"n-Hy ' (I • 2 . 3 ••• 2w) ' en supprimant les facteurs communs, on trouve

Or, d'après la relation (a), la limite du second membre est l'unité; donc, la relation (|3) est démontrée.

D'un autre côté, on a aussi

ç{x) 1.2.3...X \X27ie-''-^{x ~\- iYH

9(a^+0 [/^e--x^H I .2 .3...a;(x+i)' ou bien

par suite, il vient

Afin de simplifier, appliquons les formules

\ Xj X 2X^ \ X/ X 2X^ ' 3a;*

0' et 9'' étant des quantités comprises entre o et i. Il vient alors