DÉFINITIONS. EXPRESSIONS DES FORMES. TRANSFORMATIONS LINÉAIRES
196. On donne le nom de for?ne à toute fonction algébrique homogène considérée en elle-même, indépendamment de l'équation qui en résulte en l'égalant à zéro. On distingue les formes binaires, ternaires, quaternaires, etc., suivant que la fonction homogène renferme deux, trois, quatre variables, etc. On dit aussi qu'une forme est quadratique, cubique, quartique, quintique eic.f si elle est du second, du troisième, du quatrième, du cinquième degré, etc. Nous représenterons les variables par une même lettre x affectée des indices i, 2, 3, 4, . ., et nous allons indiquer d'abord la manière d'écrire une forme quelconque.
Une forme binaire de Tordie n renferme les différents termes du développement
(x, + x,Y = a?7 + nx^l-'x, -\- -^ -x\-'x\ 4 \- xy,
son expression sera complète en y ajoutant des coefficients ao, «i, ...««; il vient donc pour l'expression de la forme binaire de degré n
f = a^xl + na^x^-^x^ -\ a^x'l-^xi -|- . . 4- wa„iiP,a?^-* + ft„a?^.
Par exemple, les formes binaires quadratique, cubique, quartique, quintique s'écrivent comme suit :
aç^x\ -\- ^a^x]x^ + ^%x\x\ -\- ^a^x^xl + a^x\, a^,x\ -\- 5a,a?J^2 + loa^x^xl -\- ioa^x\x\ -\- ^a^x^x\ -\- a^xl-
Le nombre des termes de la forme binaire générale est n-\- i. -^^ "^ L'expression de la forme ternaire de l'ordre n se déduit du développement
{X\ -\-X2-\- XiY = [Xi -\- X2Y + ^K^i + X2)"-^X%
dont le nombre de termes est donné par
Après avoir effectué le développement du second membre, il reste à ajouter des coefficients. Pour les formes quadratiques et cubiques, les coefficients se désignent généralement par une même lettre a portant deux ou trois indices correspondant aux variables; on écrit donc
+ 3*223^2^3 + 3*. 33^5^1 + 3*233^5^2 4" ^^^ iiô^ i^i^Z'
Considérons encoje le développement
(xi-\-X2-\-Xs']-XiY= (^1 +^2 +^3j" -i-fiixi +ir» +a?j)"- 'a?-, -] [-xf
après les calculs, le nombre de termes sera représenté par
{n -f- i) (w + 2) n{n -\- i) jn— i)n 3.42.3,1.2
ou bien
c'est à-dire, llin + ly -{-n^ + " +2' + !']-{' {[(n + i) + n + •• i- 2 + i]. Par l'application des formules du n® 85, cette expression se réduil à
Ce sera le nombre de termes de la forme quaternaire de l'ordre n dont l'expression complète s'obtient en ajoutant des coefficients aux différents termes du développement qui précède. Conformément à cette loi. on écrit pour la forme quaternaire quadratique et cubique
f=a^^x] + a.^xl + a^.xl + a^^x] + 2a^gX,a?2 + 2a^^x^x^ + 2a^^x^x^ + 2aj^x^x^ + 2a.2^x^x, + 2a,^x.x^.
"1" 3^11 2^i^2 "T" 3^H5^1^3 "r 3^4 4 4^4^* "1 3^22i^i^l "T" 3*225^2^3 ~i~ 3^'J24^2^4 + 3fi^334^5^l + 3a332^3^« + 3a354^3^4 + 3»* 4 ,^!^| + 3<^4 » 2^î^2 + 3^4 4 5^î^3
Si on continue ainsi de proche en proche, on arrivera à l'expression générale d'une forme de Tordre n à A; variables dont le nombre de termes sera égal à
I. 2. 3 ••• A' — I Cette expression peut aussi se mettre sous la forme k{k+i) [k-\-2) ." {k-\-7i—i) I. 2. 3 ••• n
Il est inutile d'ajouter que l'on peut adopter la notation que l'on veut pour les coefficients d'une forme; mais, à cause de la symétrie des calculs et
des résultats, on les écrit presque toujours avec les coefficients numériques du binôme.
19'?'. Transformation linéaire. Transformer linéairement une fonction homogène donnée de l'ordre n
f(ao,ai, a2i '",XiyX2y •" Xk), c'est remplacer les variables par des expressions de la forme
j?i r= ai Xi -j- «2 X2 -(- • • • -|- afc Xa,
a;2 = P.X, +(32X24 \-^kXk,
Xk = ^1 X, -}- /2 X2 + • • -]- /fc Xfc, où X|, Xo, ••• Xfc représentent des variables nouvelles en même nombre que les premières. On appelle modale de la sub'stitution le déterminant des constantes a, (3 ...; nous le désignerons toujours par r\ on aura :
ai 0.2 '" cck
On regarde les variables de la forme donnée comme indépendantes, et le module r est toujours supposé différent de zéro. Nous désignerons par
F(Ao, A|, A2, ••*, Xj, X2, "", Xk) ce que devient f par cette substitution; c est \di fonction transformée. En général, les coefficients A^, Ai, A2, ... de celle-ci seront des fonctions homogènes du premier degré des coefficients de f et du degré n par rapport aux , constantes de la transformation. Soit, par exemple, à transïormer la fonction suivante ;
f= a^x] + 2aiXiX2 -{- (^2x1 .
Les formules de substitution seront :
a?i = «iXi + «2X2, a?2 = (3iXi -j- (32Xa ;
par suite il vient
F = ao(a,Xi-l-a2X2)24-2ai(a,X,-}-a2X2)(3iX,+[32X2) + ct2((3,Xi4-(32X,)«.
F est de même degré que f et de la forme
F = AoXj + 2A,X,X,+ A,X;, où
Ao = fto^î + ^«^«^(S, + a,(3J, A, == a^ccl + 2a,a3(3, -f- a,(3», A| = a,aia2 -f- ai(ai(32 -j- ^*^i) + ct2Pi|32 .
La théorie des formes s'occupe spécialement des pi^opriétés des fonctions qui ne sont pas altérées par une transformation linéaire; une fois vérifiées sûTTïne forme donnée, elles se reproduisent sur l;outes les transformées quelles que soient les formules employées pour passer de l'une à l'autre. Ces propriétés peuvent se rapporter à des fonctions de coefficients ou à des fonctions de coefficients et de variables. Il est nécessaire d'étudiefT^ërT premier lieu, un système de fonctions homogènes du premier degré à un nombre quelconque de variables. ~~
198. Système de formes linéaires. Considérons le système de k formes linéaires
/*, = ax \Xx -\- aiiX2 -j -|- aïkXk,
(i) fi = aiiXi -\-a2iœi~{- \- a2kXkf
fk = cikiXi -\- ak2X2 -\- Soit ô leur déterminant; on a
+ CtkkXk,
dix d^i
Œxk
Cl2k
Clkl Clki ..• Click
Lorsqu'il n'existe aucune relation spéciale entre les coefficients, on doit regarder ces formes comme indépendantes. Il n'en est plus ainsi lorsque l'on a, par exemple,
car, en les multipliant respectivement par les premiers mineurs An, A21, ... Aai de (5 et en ajoutant, il vient
Al 1/1 -f- A2l/*2 + • \- Afci/i ~:J>^
On pourrait également nauTnpîier par les mineurs d'une autre colonne quelconque; mais les relations que l'on obtiendrait seraient identiques, puisque, si un déterminant est égal à zéro, les mineurs 4'une colonne sont proportionnels aux mineurs correspondants d'une autre colonne quelconque. On a donc cette proposition :
Quand le déterminant d'un système de formes linéaires en nombre égal aux variables s'annule, il existe entre elles une relation identique et une seule.
Cette propriété suppose que tous les premiers mineurs ne sont pas nuls
.tC^'
en même temps que S. Considérons le cas général où le déterminant du système s'annule ainsi que tous ses mineurs jusqu'à ceux de Tordre k — e -j- i inclusivement, tandis qu'un mineur au moins de l'ordre k — / est différent de zéro. Prenons les k — i dernières formes
/"i+i = ai+i,iXi -{-••• -f- at+i,fc.Xft,
, . fi+2 = «1+2,1 aci -j- 1- tti^i^kOCk.
et admettons que le mineur de l'ordre k — i
«j+2,tM I «» + 2,i.f2 ••• fl't-f2,fc
«k,t>I, Cik,i^2 ••• (ikk
soit différent de zéro. C'est le mineur de d obtenu en supprimant les i premières lignes horizontales et verticales.
Ajoutons au système (2) l'une quelconque des i premières fonctions, savoir :
(3) /a =• axixt -\- ai2X2 4- • • cilkXk^
"k pouvant prendre toutes les valeurs comprises entre i et i. Si l'on pose
on a un déterminant mineur de l'ordre k — i -\- i qui, par hypothèse, est égal à zéro. Cela étant, multiplions respectivement les formes (2) et (3) par les premiers mineurs A,+i, 1, Ai+s, i, ..., A*, 1, A;^, 1 des éléments de la première colonne de à^\ et ajoutons ensuite; il viendra
Ai+i, i/*»+, 4- Ai+2, i/'»+2 + •••> +-^*5 iA+ ^>' >A =^î parce que, dans la somme, les coefficients des variables sont des mineurs de l'ordre k — /-}- i de (5. On ne trouvera pas d'autre relation en multipliant par les premiers mineurs d'une autre colonne de ài,\. En posant ) = I, 2, 3, ... «, on obtiendra i relations distinctes. Donc,
Si le déterminant d'un système de formes linéaires enjnomhre égal aux
variaMes s^ annule ainsi que tous ses mineurs jusqu'à ceux de l'ordre k — ^■ -|- I inclusivement, tandis qu'un mineur au moins de l'ordre k — i est différent de zéro, il existe entre elles i relations identiques distinctes.
Il en résulte que les premières fonctions s'expriment au moyen de /"j^i, /*»+2 •♦• /ft et ces dernières seulement sont indépendantes.
Revenons maintenant au système (i^ dans le cas où à est différent de zéro, pour lui appliquer la transformation suivante :
Xx = a,Xi -\- aoXi 4- ••• -(- ^-k^ki
Xk = AiXi -j- /2X2 -j- • .. -[- IkXk. Désignons par F| ce que devient /", par cette substitution; on aura
F| = (anai 4"'^ i2j3i+ • • -j- ajfcAi) X| -|- (ftn^a -j- fti2(32 -\ -|" f^<*^'2) X2
-{-•' -{- {anak-\- ai2^k'\- '" -\- ai0.k)Xk,
En posant
bik = auak-\-ai2^k-{- '•• + ^ifc^*,
il vient
Fi = &11X1 -|- 612X2 -{-...-{- 6uXfe. On trouvera de même
F2 = 621X1 -f" 622X2 + •.•• -|- 62fcXfc, Fj = 6$,Xi +632X» + ••• + ftskXfc,
Fjic == 6feiXi -f' 6*2X2 -}" "* "i" bkkXk.
Désignons par A le déterminant de ces fonctions transformées; d'après les valeurs des coefficients 6, on a la relation A = rè, r étant le module de la substitution. Par^qnséquent,
Le déterminant d'un système de formes linéaires transformées est égal au déterminant du système primitif multiplié par le module de la transformation.
Le déterminant ^ est un exemple d'une fonction des coefficients d'un certain nombre de formes données qui^ après une transformation linéaire, ne diffère de sa valeur primitive que par un facteur dépendant seulement des constantes de la substitution; si le module r était l'unité, la fonction d resterait égale à elle-même.
En vertu de la relation précédente, le déterminant A s'annule en même temps que d; s'il existe une relation entre les formes données, una relation semblable aura lieu entre les fonctions transformées.
