Transformation orthogonale. Étant données les formules

Xi = «iX, -j- «2X2 -|- ... -|- ajfcXfc, x^ = 6,X, + jSaXa -I h (3 A,

Xk == /iXi -|- /2X2 -j- . . . -|- /fcXfc,

on dit que la transformation correspondante est orthogonale, si l'on a la relation fondamentale

Cette égalité entraîne diverses relations entre les constantes. En effet, remplaçons Xi, x^, -", Xk par leurs valeurs et égalons les coefficients des mêmes produits des variables Xi, X2y ..., Xt. Il viendra

«l + (3| + ...+>| = i, «la» + ^1^2 -\ — • + A|^2 = o, aias + PijSs + ••• + AiAi = o,

ak-iO-k -f- (3fc i|3k-l- • |-^i^ = o.

Leur nombre est égal à

De plus, si on forme le carré du déterminant

ai /3i ..., Ai

en tenant compte des égalités précédentes, on trouve

Le carré du module d'une transformation orthogonale est donc égal à l'unité positive.

Une substitution orthogonale est aussi caractérisée par une autre propriété. Étant données les équations

Xî = (3,x, + |3îX2 -1 1-PA,

la transformation sera orthogonale, si on peut en déduire les formules suivantes : '^ jgs

V, ^ ' ' 'M pr ^

où les coefficients sont transposés, c'est-à-dire que les constantes disposées horizontalement sont les coefficients disposés verticalement dans les premières. En effet, il vient alors

x]-\-xl-\- l-x| = (aiXi + ^2X2 -j- ••• ^fcXfc)xi

+ ((3iX, + P2X2 -\ \- ^kXk)X2 + ••• (A.X, + A2X2 + • ■ . lkXu)Xky

et

X? + X^ H h XI = {otat + (3,X2 -1 \- >iX*)X,

+ (^2^1 +.82X2 -\ -\- hxk)X2 4- .•■ (akXt +|3ka;2+ " hxk)Xk.

Or, il est facile de vérifier que les seconds membres de ces égalités sont identiques ; par suite, on a