INTRODUCTION

1. On appelle variable toute quantité qui, dans une même question d'analyse, peut prendre un nombre indéfini de valeurs différentes. Une constante est une quantité qui, dans une même question, conserve une valeur fixe et déterminée.

Les variables sont ordinairement désignées par les dernières lettres x, y, ... de l'alphabet, et les constantes par les premières lettres a, b...

Il est quelquefois commode de recourir à la représentation géométrique suivante : Après avoir marqué sur un axe x'x une

Fi g. i

' i I ! III I

a;' ii \ v.

A' 2 -1 u 1 1 2 A C li

origine O et une unité de longueur 01, on convient de représenter un nombre positif a (rationnel ou irrationnel) par le point A de Ox dont Vabscisse OA a pour mesure a, et le nombre négatif - a par le point A' de Ox' dont Vabscisse OA' a pour mesure a.

On dit qu'un nombre c appartient à Y intervalle (a, b) lorsque

Si A, B, C sont les points représentatifs des nombres a, b, c, le point C appartient nécessairement au segment AB.

2. On dit qu'une variable y est fonction d'une autre variable x lorsqu'à toute valeur de x correspond une valeur déterminée de y.

Xeuberg. — Algèbre.

On représente une fonction de x qu'on ne vent pas spécifier, par une notation telle que F(.v), /'(.v), o(x), ...; la valeur que prend cotte fonction pour une valeur donnée x === a, est alors désignée respectivement par F(a), /"(a), <p(a), —

Une fonction de v est dite explicite lorsqu'elle est exprimée au moyen de x par des signes connus, indiquant le système d'opérations à faire sur une valeur donnée de x pour en tirer celle de la fonction; telles sont les fonctions 3 + 2x — dx2, log(5.v2 — 3), .... Quand il n'en est pas ainsi, la l'onction est dite implicite; ainsi, quand on donne l'équation

yi 4y J af- — 2x - 0,

3' est une fonction implicite de a*.

On obtient une représentation géométrique d'une fonction y = f{x) en construisant la courbe dont les points ont pour abscisse et ordonnée un système de valeurs de x et y satisfaisant à la relation y — f(x).

3. On appelle fonction entière de x toute expression dejla forme

A0tfm + A^»-1 + ..: + Am ia? + Am, , dans laquelle les exposants de x sont des nombres entiers positifs, et les coefficients A0, AM ..., Am„i, Am des constantes quelconques.

Le quotient de deux fonctions entières de «v est une fonction nommée fraction rationnelle.

Une fonction irrationnelle de x est une expression qui renferme un ou plusieurs radicaux portant sur des fonctions de x; telles sont les expressions

On dit que y est une fonction algébrique de x lorsque la dépendance entre ces variables peut être exprimée par une équation de la forme

A0ym -h A,?/™-1 -h . . ~h Am!y + A,„ = 0,

où les coefficients A0, Ai, .. , Am i , Am sont des fonctions entières de x.

Les fonctions non algébriques sont appelées fonctions transcendantes. Les plus simples sont la fonction exponentielle ax,

la fonction logarithmique log x, les fonctions fcrigonométriques (circulaires) directes sin .v, cos.v, tgx, cotg x, sec .v, coséc x, et les fonctions trigonométriquos inverses ou fonctions cyclométriques arc sin .v, aie cos .v, etc.