M + P < » (V„ - VA

Supposons que la suite de Budan perde X-|- 2K variations dans le passage de .v - a à x % de sorte que Ya — Vo ^ N -■}- 2K: la relation précédente devient

M | P < m — N — 2K, ou /y/ — iM + X -f- P) > 2K.

Mais m — (M | X 1 P) est le nombre des racines imaginaires de F(.v). Oïl a donc le théorème suivant : Si une équation F(x) = 0 a X racines comprises entre * ef [3, e/ r/z/c /<•* shi/c r/Y Bu dan perde N + 2K variations dans le passage de x = a à x fi, l'équation a au moins 2K. racines imaginaires.

Exercices et notes.

I. Soit V, Y,, ..., Vr une suite de fonctions jouissant des propriétés suivantes: 1° Elles sont continues dans l'intervalle (a, 8) et la dernière ne change pas de signe (elle peut passer par zéro en gardant son signe); 2° Une valeur de x qui annule nue fonction intermédiaire Yn, donne aux fonctions voisines Vn— 1, Vn+1 des signes contraires (sans les annuler).

Dans ces hypothèses, le nombre des racines réelles de V = 0, comprises entre a et £, est au moins égal à celui des variations que gagne ou perd la suite Y, Y1? ... , Vr dans le passage de x = a à x = (3.

En effet, si x varie d'une manière continue, depuis x - % jusqu'à x = 8, le nombre des variations de la suite (V; ne pourra être modifié qu'à l'instant où x atteindra et dépassera une valeur qui annulera Y. Si le rapport

. en s'annulant dans l'intervalle (a, (3), passe X fois du négatif au positif,

fi. fois du positif au négatif et conserve v fois son signe, la suite (V) gagne À fois une variation et en perd ;j. fois une, etc.

Corollaires. — I. Dans l'application du théorème de Sturin à la suite V, Vi, V2, ..., Vr, où Vi est la dérivée de V, — V2 le reste de la division de V par Vi, etc., le nombre des variations perdues par une partie Vi , Vi| ls . ., Vr de la suite dans le passage de x = a à » = 8 est une limite inférieure du nombre des racines réelles de Vi = 0 comprises entre a et 3.

Cette proposition se déduit immédiatement de la précédente.

II. Si l'équation Vi = 0 a p racines imaginaires, l'équation V = 0 en a au moinsp (Darboux).

Soient u., v les nombres des variations perdues respectivement par les suites

V, V|, . •., Vi 1? Vj, , y i ,

m , Vi-j.,, .. ., Vj ,

dans le passage de x = — oo à x = oo, et soit m le degré de V. On a u. < v -J-i"; d'où m — y- < m — i — v. Or, ;j- étant le nombre des racines

réelles de Y, m — ;j. est celui des racines imaginaires; m — i étant égal ou supérieur au degré de Vi, et v étant égal ou inférieur au nombre des racines réelles de Vi, le nombre des racines imaginaires de Vi est égal ou inférieur à m — i — v, etc.

2. Soient X = 0 une équation qui a des racines multiples, X! la dérivée de X, V et Vj les quotients de X et Xj par leur p. g. c. cl. Xr .

Si a est p fois racine de X = 0, p est égal à la valeur, pour x = a, du quotient de \\ par la dérivée V de V. (Sturm).

Xeuberg. Algèbre. i3

De X = XrV, Xx = XrV! on déduit y1 = V- si x — (* — a)vo(x) , on trouve facilement

po{x) -J- (a? — a)'f'(.T) (a? — tt)'f(^)

V étant de la forme (x — a)f(x), on a V = /(as) -j- (x — a)f'{x) et la valeur

de V, pour t\- = a, est égale à /\a) ou égale à la valeur de — pour x— a.

Cela posé, faisons a: = a dans l'égalité (1), etc

Corollaire. — En égalant à zéro le p. g. c. d. de V et Vl — ]>\', on a l'équation dont les racines sont toutes celles de X, de l'ordre de multiplicité/), mais prises chacune une fois. (OSTROGRADSKI).

3. Soit V = 0 une équation ayant toutes ses racines réelles et distinctes, et soit V, Vi, V2, . ., Vr la suite de Sturm relative à V. 1° Les racines de Yi sont réelles et distinctes ; 2 elles séparent les racines de Vi-| t.

En effet, si m est le degré de V, les fonctions de Sturm sont au nombre de m -j- 1 et leurs premiers termes sont positifs (205). Par suite, dans le passage de x = — oo à x = oo, la suite Yi, Vi-j-j, . ., Vm perd m — i variations, ce qui exige (pie le rapport passe au moins m — i l'ois du né-

gatif au positif en s' annulant ; le degré de Yi étant aussi m — i, Vj n'a que des racines réelles et simples. Chaque fois que x passe par l'une de ces

racines, le rapport ' passe du négatif au positif; on en conclut, en \ 1+1

raisonnant comme pour le théorème de Rolle, que les racines de Vj séparent celles de Vi-j-i.

4. En effectuant la division de 1 par 1 -\-2ax -f- a- suivant les puissances croissantes de a, on obtient un quotient

P0 + Fia -+ P2a* + ... H-P^-4- ...

dont les coefficients P0, Px, P2, .. sont des fonctions entières de x Montrer (pie l'équation Pn =0 a toutes ses racines réelles.

Au terme Pnan du quotient de 1 par 1 -\-2ax -\-a2 correspond un reste de la forme Ra^-H1. De l'identité

(1 -f 2ax |- cr) (P0 -f P> + P>2 f ••• h Pn«n) -h R&n+1 = 1

on déduit

P0 = 1, Pi H- 2P0* = 0, P2 -f- 21\v h P0 == 0,

..., IVf 2Pn 1.M-Pn-2-0.

On peut appliquer l'exercice 1 à la suite Pn, Pu— i, ••• > 1*0 ; les premiers termes de ces fonctions ayant des signes alternes, la suite gagne ri variations quand x varie de — oo à -J- oo.