Application au troisième degré. - Soit

A' = .r3 -- px + '/• Nous aurons

AV -■- I P, Vz= -2px-3q, V, ---■ -V - 27 7*.

Les conditions énoncées sont

elles se réduisent à

\pz -\-27q2 < 0.

207. Cas des racines multiples. — Soit X == 0 une équation ayant des racines égales; soit Xj la dérivée de X. Appliquons le procédé du p. g. c. d. à X et X,, en ayant soin de changer le signe de chaque reste avant de le prendre comme diviseur de la division suivante. Appelons X.,, X3, ..., Xr, les restes ainsi modifiés. Comme l'équation X 0 a des racines égales, X et Xj ont un p. g. c. d., égal au produit des facteurs premiers multiples de X, chaque exposant étant diminué d'une unité; ce plus grand commun diviseur est ici Xr. La suite des opérations donne les identités

= XIQl"X8ï

Xn ;

— - Xi'vn X ,, ; ,

Xr ,Qr- , -1

= XrQr.

Xr,

Los fonctions \", X M X X, sonl divisibles pur X, ; posons

v Xl = v x" ' v x' = V 1

A, Ar Ar -Vr

Vr a les mêmes racines que X, avec cette différence que les racines multiples de X sont racines simples de Y. La suite

v, yy, \,, ..., v,. 15 vr (a)

jouit des mêmes propriétés ({ne la suite de Sturm. En effet, ces

fonctions sont continues et la dernière a un signe invariable ;

une valeur de X qui annule Vn donne à Vn— i et Vu | x des signes

contraires, car deXn 1=X,iQ.n — Xn | put déduitVn -i=VnQn~Vn 1 1;

V , . X enfin, le rapport , égal a , passe du negatil au positil lors-

que x passe par une racine de V = 0 (i93).

Il résulte de là que si, dans la suite (A), on remplace x successivement par y. et par 3, le nombre des variations (pie perd cette suite est égal au nombre des racines de V, comprises entre a et fi ou a celui des racines de X, comprises dans le même intervalle abstraction faite de leur degré de multiplicité.

Il est inutile de calculer les fonctions V, Vlf V2, .. ; les substitutions x = a, x = p peuvent se faire dans la suite des fonctions

qui ne diffèrent des premières que par un même facteur Xr.

Théorème de IUdan (''•'-).

208. Théorème. — Etant donnée une équation algébrique entière F(x) — 0, de degré m, le nombre des racines réelles de

(*) B ud an communiqua à l'Académie des Sciences renoncé de son théorème (lès 1803 et la démonstration complète en 1811. Fourier ayant donné de ce théorème une nouvelle démonstration plus claire, ou lui a souvent attribué, par erreur, la proposition elle-même. La démonstration de Fourier présente une entière analogie avec celle que Sturm a donnée de son théorème.

Xous suivons ici une Note que M. Fouret a publiée dans les Nouvelles Annules de mathématiques, 1; 92, p S2.

cette équation, comptées avec leur degré de multiplicité, qui sont comprises entre y. et p > a, est égal, ou inférieur d'un nombre pair, nu nombre des variations que perd la suite

FO), F'(œ), F»(x), -, F(m», (1)

lorsqu'on y fait consécutivement x == a, x = 3.

Quand a* croît d'une manière continue de a à 3, la suite des signes des fonctions (1) ne peut éprouver de modification qu'à l'instant où x atteint et dépasse une valeur annulant quelqu'une de ces fonctions.

Considérons d'abord une racine a, d'ordre de multiplicité p, de F(.v) = 0. On a vu (183) que la suite

F(œ), F'O), . . . ,. F-P-tifa?), F pî(o?) (2)

présente p variations pour x = a — h et n'offre que des permanences pour x = a j- h, h désignant un nombre positif aussi petit qu'on veut; donc elle perd p variations, quand x passe, en croissant, par une racine, multiple d'ordre p, de F(x) = 0.

Soit maintenant/; une racine, multiple d'ordre q, de F-n'(.v)=0. D'après la remarque précédente, la suite

perd q variations, lorsque x passe, en croissant, par la valeur /;. Par conséquent, lors môme que l'intervalle de F(" \x) à F^(.v) acquerrait une variation, In suite

F^"1», F^(x), F^+^tf}, ..., F'n+%)

ne peut gagner aucune variation, quand x passe, en croissant, par une racine, multiple d'ordre q, de F^{x) = 0.

Cela posé, soient Va, Y 3 les nombres de variations que présente la suite (J j pour x = a et pour x = 3. Lorsque x croissant d'une manière continue de a à (3 passe par une racine de ¥(x), la suite (lj perd autant de variations qu'il y a d'unités dans Tordre de multiplicité de la racine; lorsque a: passe par une valeur annulant une fonction intermédiaire, la suite (1) ne gagne aucune variation. 11 résulte de là que la différence Va — Y q est au moins égale au nombre N des racines de F(.v) comprises entre « et p, chaque racine étant comptée avec son degré de multiplicité.

Si N est impair, F(a) et F(,3) sont. de signes contraires (129) ; I'1 ""(.v) étant une constante, les nombres Vol, Vq sont de parités différentes; donc Vu — Va — X est un nombre pair. Semblablement, si X est pair, F(«) et F(fi) ayant le même signe, V« et Vg sont de même parité; donc le nombre Ya — Va — X esl encore pair.

209. Remarques. — I. Dans les applications, on peut arrêter la suite (1) à une dérivée qui ne change pas de signe dans l'in • tervalle (y., 3).

II. Si le nombre substitué a (ou 3) annule une ou plusieurs fonctions intermédiaires de la suite (1), on prend pour Va (ou Va) le nombre de variations que présente la suite pour x = y. (ou ,3), abstraction faite des fonctions qui s'annulent.

En effet, si a et j3 ne sont pas racines de F[x), on peut, pour appliquer le théorème de Budan, substituer a |- /? et 3 | h à x dans la suite (1), pourvu que h désigne un nombre positif suffisamment petit. Les fonctions qui ne sont pas nulles pour x = a ont le môme signe pour x a -|- h que pour x ■■= a. Supposons que a annule les fonctions consécutives Fn'(.v), Fnl1-(.vi, ..., p.'H-a -!] ; alors la suite

p{n-Ds F(n)(a?)j F^+^fa?), .. , F(Hq-il(a7), F''" l <%)

présente, pour »v = a-|-/i, autant de variations que la suite F(n-D(a), F^nlfi(a) ; car les quantités F^(a -f A), F<n+ >(» |- /i), ... , F(li i (i'(a 4- A) ont un même signe (193). Le raisonnement est le même quand 3 annule plusieurs dérivées de F(x).

III. Le nombre des racines de F(.v), supérieures à un nombre donné a, est égal, ou inférieur d'un nombre pair, au nombre Va des variations de la suite

En effet, le nombre de ces racines est égal, ou inférieur d'un nombre pair, à la différence Xx — V ; mais V = 0, etc.

Si a - 0, on retrouve le théorème de Descartes; car la suite

reproduit les coefficients de F(x) à des facteurs positifs près.

Inversement, du théorème de Descartes on peut conclure le cas particulier du théorème de Budan que nous venons de

traiter, ('ai- les racines de F(.v;, supérieures à a, sont les valeurs positives de x qui vérifient L'équation

F(« ! ,•) Fh)!-,rF'(a) | } ^ F"(«) -f ... + -jF<mï(a) == 0 .

210. Cas où toutes les racines sont réelles. — Quand une équation F(x) = 0 a toutes ses racines réelles, le nombre de ces racines, comprises entre y. et ,3, est égal à la différence des nombres de variations que présente la suite

quand on y substitue consécutivement a e7 p.

En effet, soient X le nombre des racines supérieures a a, X' celui des racines inférieures à a; le théorème de Budan donne

ou simplement

N < Va, N'<m— Va, d'où N -f- N' <: m.

Par hypothèse, N -| X' m \ donc le signe est exclu des relations précédentes, et N Va, N' = m — Va.

De même, le nombre des racines supérieures à 3 est égal à Vn. Donc celui des racines comprises entre a et |3 est égal à

Va" Vo.

Remarque. — Soient M', N, P les nombres des racines de F(.vj = 0, appartenant respectivement aux intervalles ( — oo, a), (a, p), (p, oo). On a

. M •V.00-Va, P Vo-Y^, d'où, en additionnant,