Définition des équations réciproques. — Une équation

est dite réciproque lorsque, admettant une racine a, elle admet

aussi la racine - •

Exemple. — L'équation

admet les racines

les inverses de ces racines,

reproduisent les racines. Donc l'équation est réciproque.

Les racines d'une équation réciproque vont par couples, tels

une a et -> 3 et-^» ••• '■> toutefois, il peut y avoir la racine x — 1

ou x — — 1, qui est sa propre inverse.

Soit F(x) = 0 une équation réciproque. La transformée en

admet les mêmes racines ; par suite les coefficients des polynômes entiers F{x) et xmF (-) sont proportionnels. Cette remarque permet de trouver la forme particulière des équations réciproques.

213. Forme générale des équations réciproques. — I. Considérons d'abord une équation de degré pair, par exemple

F(x) = x6 -f Ax* -f B#4 + Cx* 4- D.r2 -|- Ex + G = 0 (1)

La transformée en - est

»A/ »A/ tA/ \K> tAs \*J

si l'on chasse les dénominateurs et qu'on divise par G, il vient

Les équations (l) et (2) ayant les mêmes racines, on a

La dernière relation donne G2 = 1, G — ± 1 ; les antres se réduisent à

Suivant que l'on x^rend les signes supérieurs ou les signes inférieurs, l'équation (1) prend l'une ou l'autre forme

.TG -f Atf5 -f Bx4 rf Cx3 4- Bx2 4- Ax -|-1=0, i3)

œ8 4. Ax5 j Ba.4 . Ba,2 Aa? — 1 = 0. (4 >

Donc, une équation de degré pair est réciproque, si les coefficients des termes équidistants des extrêmes sont égaux et de môme signe, ou égaux et de signes contraires ; dans le second cas, il n'y a pas de terme du milieu.

Ce caractère est encore applicable lorsque le coefficient du premier terme de l'équation est différent de l'unité.

La première des formes trouvées est la forme normale des équations réciproques ; toutes les équations réciproques s'y ramènent.

Pour réduire l'équation (4) à la forme normale, on réunit les termes équidistants des extrêmes :

(x6 — 1) '+ kx(x* — 1) + Bx2(x2 — 1) = 0 ;

supprimant le facteur x2 — 1, on trouve

œ* + a?2 + 1 + kx(x2 -f- 1) 4 Bx2 = 0, ou x* -f As? 3 -f (1 -f B)^2 -f kœ + 1 = 0 .

II. Considérons ensuite une équation réciproque de degré impair, par exemple

x* -f kxA + Bx3 + Cx2 -f Vx -f E = 0.

La transformée en - devient, après multiplication par x6 et

division par E,