Soit une équation réciproque sous la forme normale

o-în [- A^211-1 -f A,^2n-2 4- .. + A,A,ri + ... -f Axa> -h 1 == 0- (7)

Prenons pour inconnue auxiliaire la somme de deux racines réciproques :

le nombre des valeurs de z est la moitié de celui des valeurs de x, c'est-à-dire n. Par conséquent, la transformée en z sera du degré n; on l'appelle la réduite ou la résolvante de. l'équation 7 . Pour former cette réduite, divisons l'équation (7) par a" et rapprochons les termes équidistants des extrêmes ; nous aurons

(*" +à) +Al(*B" ' + ,;»-.) + Ae(*'°-!|- -L) + ... + A.-0. (9)

Si l'on fait

l'équation [9) prend la forme

Zn +. A^n-i -h A2Zn, + ... h An == 0. (10)

Pour calculer Zp en fonction de z, multiplions, membre à membre, les égalités

xV +.„ • = zi" * + ;: = *;

nous aurons

ou Z,,, ! |- Zp i — ZyZ ;

donc Zp+i — Zps — Zp i.

Ainsi, partant des valeurs initiales Z0 —2, Zt = 2, on obtient les fouet ions Z2, Z;5 ..., pnr voie récurrente : chaque foneiion est égale n lu somme des deux précédentes, respectivement multipliées pnr z et pnr — 1 .

En appliquant cette rôg'le, on trouve

Z , étant de degré p en 2, la réduite (10) est bien de degré n.

Si on sait la résoudre, les valeurs de x résultent de x -\- - = z,

où s est remplacé successivement par chaque racine de (10). 215. Exemple. — Résoudre l'équation

./•'; — 5tf5 -h llx4 — \Ç>x3 + 1 U~ — 5^+1 = 0. Divisons par a:3 et rapprochons les termes équidistants des extrêmes :

r^.h M 5^+^Vhii^-f^-^-o,

ou Z3 — 5Z2 + HZj — 16-0.

On a trouvé Z., = ^2 — 2, Z3 = z:i — 3z ; par suite la résolvante est

c3 — oz- -1-8- — 6 = 0.

La méthode des racines commcnsurables donne z = 3; divisant par s - 3, on obtient z- — 2z -f- 2 = 0, d'où z = 1 ± V — 1 .

1 , z±\Jz~ — 4 ,

L'égalité a- + - = s donne .\' = - -„ » et en rempla-

cant z par les valeurs trouvées :

Exercices et notes.