RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DE QUELQUES ÉQUATIONS BINOMES

Celte équation donne

v • i -liV-3 d ou x = 1 , x —

On vérifie aisément que /es deux racines cubiques imaginaires de l'unité sont, chacune, le carré de Vautre; nous les représenterons par 0 et 0~.

Pour obtenir les racines sous la forme a j- (3 V — h écrivons

x4 + 1 -I- 2xz = 2ar, d'où a?2 -f 1 = ± a? V 2 ; donc x= y= [± 1 ±V — l).

3° xh — 1 — 0.

Après suppression du l'acteur x — 1 on obtient l'équation réciproque

x4 -\-x3 -\-xl -Y x -f- 1 = 0,

(lue la substitution .v +- =z ramené a 1 x

On en déduit

*=|(— l iV5);

— 1 ± V'5 ± V— 10 ± 2V5 puis x

Opéranl comme dans le deuxième exemple, on trouve suc-

cessivemenl

a;8 I - 1 | ïx4 2x*, x4 | 1 - | ./■- \'-2,

Les doubles signes intérieurs sont conjugués.

A cause de x1'2 = (a*4/", le premier membre est divisible par .v4 f- 1. Il reste donc à résoudre l'équation

afi—œ* 4- 1 = 0.

Elle donne successivement

x8 -f 2.r4 -f- 1 = 3.r4, a;4 | 1 = ± xz \:{.

./•4 h 1 4- 2v' ~- ®2{2 ± V'3), ^2 -I- 1 = 4 ce y-2 4- V 3 ,

Les doubles signes intérieurs sont conjugués.

O ,rlr' — 1 = 0.

A cause de .v15 = (x3)5 = (.v"1)3, on a

a-15 i = (,r ___ i) (^2 | x j i) (à?12 + #9 -|- .rfi -f ,rn |- 1), #15 1 ^ (<7; i) (<T-i | #3 j ^.2 j x j i) (#1° | #5 j ! )#

Sept racines de l'équation proposée sont données par les équations

On obtient les huit autres racines en égalant à zéro les < pi o tient s

.r'- 4- a;94 xô 4- .v3 -|- 1 ^ a^104- a* h 1 > .^ 1 a?3 4 œM-ï + 1 ' »* 4-# |l'

, — 20t> — égaux tous deux à

On a ainsi à résoudre une équation réciproque.