Les équations binômes sont celles qui ont la forme

yn A = 0f (!)

A étant une quantité donnée. Les solutions de l'équation (1) sont

les différentes déterminations de y A.

Soit a l'une de ces solutions. Si l'on remplace A par am et qu'on pose y = a.v, l'équation (1) se ramène à X™ — 1 = 0. Par

conséquent, les différentes valeurs de \ A sont égales au nombre a multiplié successivement par les différentes racines mes de 1.

Si A est positif, on peut prendre pour a la racine me arithmétique de A. Si A est négatif et que a représente la racine me

arithmétique de sa valeur absolue, ou trouve, eu posant encore y = n\\ l'équation xm -f- 1 = 0, de sorte que les valeurs de x

sont les produits de a par les différentes valeurs de \ — 1 • On peut donc distinguer quatre cas, représentés par

Le second se ramène au premier par le changement de x en — x. L'équation .y2" — 1 = 0 se décompose en deux autres

xn— 1 = 0, .vn -[-1=0.

Si n est impair, ces nouvelles équations sont comprises dans les deux premiers cas; si n est pair, la seconde rentre dans le quatrième cas, et on peut continuer la décomposition de la première. On voit qu'il y a deux équations binômes distinctes, « savoir

Propriétés des racines de l'unité.

217- Théorème. — Toute puissance dune racine mc de l'unité est aussi racine me de l'unité.

Soit a une racine me imaginaire de l'unité, de sorte que am — - 1. Nous aurons (am)n = (anjra = 1 ; donc an est une racine m'' de l'unité.

D'après cela, les termes de la suite

sont des racines mes de l'unité. La suite est périodique : la période comprend au plus m termes; car, de ara = 1, on déduit

ym ! 1 >,nx ^ am ! 2 ama2 „ a2} efcc

218. Théorème. — Les racines communes à deux équations x™ — 1 - 0, xn —.1=0, (2)

sont également racines de l'équation

d étant le p. g. c. d. des exposants m et n.

Soit m n : si <j est le quotient et r le reste fie In division de m par n et que * désigne une racine commune aux équations 2 . on a

xra 1 ; a"(l I •'■ - 1 0, a'1 — 1 = 0.

La première relation se réduit à *r — 1 - 0, car x'"1 ' ''-- (a"/'*1'. Donc a est une racine commune aux équations

xn - 1 = 0, xr — 1 - 0.

D'après cela, si /•, /•', r", ... (/ sont les restes des divisions que Ton effectue pour trouver le p. g. c. d. des nombres m et;*, a est racine de chacune des équations

iVt __ i o? jpp» i = o, .fl" — 1 = 0 , . ., a?(1 — 1 == 0.

Donc tonte racine conimune aux équations (2) appartient à l'équation (.'$). Réciproquement, tonte racine de l'équation (3) est aussi racine de chacune des équations (2).

Si m et n sont premiers entre eux, les équations (2) ont la seule racine commune x = 1.

219. Théorème. — Si m est un nombre premier et « une racine imaginaire de l'équation x"1 - 1 = 0, les m racines de celle équation sont

En effet, chacun de ces ternies est une racine (217). Ces racines sont distinctes; car si l'on avait xh — ah', on aurait, en divisant par a'1', ahh' = 1 ; donc les équations .vm — 1 =- 0, xh~h' — 1=0 auraient une racine commune. Le plus grand commun diviseur de m et h — h' étant 1, cette racine appartiendrait à l'équation x — 1 = 0, ce qui est contraire à l'hypothèse.

220. Racines primitives. — On appelle racine m' primitive de l unité une racine imaginaire dont les m premières puissances reproduisent toutes les racines mes de l'unité. D'après ce qu'on a démontré tantôt, toute racine imaginaire de l'équation .vm — 1=0 est une racine primitive lorsque l'exposant m est un nombre premier. Quand m est un nombre composé, certaines racines sont primitives, et les autres sont non primitives.