Ordre et poids d'une fonction symétrique entière

— Soit -nyb'Jct ... une fonction symétrique entière et homogène des racines <**, /;, ..., / de l'équation

F{x) = x^-\-plx^-1 lp.,*m-~-\ ... f-jt)m=0.

Elle s'exprime par une fonction entière -f pls p2, ...) des coefficients de F(5c), dont la partie littérale peut se déduire de Vordre et du poids de cette expression.

On appelle ordre d'un terme de o(pltplt ...) le nombre de ses facteurs p, et poids la somme de ses indices; par exemple, l'ordre du terme plplpl est 7 j r | s, et son poids est <y -{- 2/- f- 3s.

Si, dans »(pi, p>, • •)> on remplace pi par — Sa, pt par Sa&, etc., on doit obtenir la i'onction proposée Ha%b?çf On en conclut

(pie tons les termes de '?(p^1p.>^ •••) ont le même poids a -|-|3 hy-j-.... Car si on multiplie les racines a, b, ..., /par un môme nombre À, la l'onction Saafc"cT ... est multipliée par Àaiv^'---- ; ]es coefficients pl9Pn •■■ sont multipliés respectivement par X, X2, ... et un terme p^pîp* ■ • est multiplié par À'1 i 2l' l ;îs+ ••; l'identité

après cette transformation, doit être indépendante de À.

Si la l'onction ©(Pi,p2, ..) n'est pas homogène, son ordre est défini par celui du terme le plus élevé; il est égal au plus élevé des exposants a, (3, y, .. En effet, si b, c, ... / sont les racines de l'équation

■) =.r'"-' -f ?1*m-*+'?s*»-»-f ... + ? m-fi==Of

on a

Pj = - a -f '/! , y;, = - aq] f 7.,, p3 == — aq, -f ?3 , ... ;

en portant ces dernières valeurs dans <p(P],p2, ..), on obtient une expression qui est, par rapport à a, d'un degré égal à l'ordre

de 'f(Pi,/>2> •••)• Comme on doit retrouver Sa 6|Jc', ..., cet ordre ne peut être inférieur à a. 11 ne peut non plus être supérieur à a

si a (3 y car le coefficient de la plus haute puissance de a

dans un terme pjfPÎpc ••• est ± gr^ i^v i^p 1 et réciproquement

ce dernier facteur ne peut provenir que dep^pjpp .. de sorte qu'il ne peut se réduire à zéro par l'addition d'autres termes

Exemple- — Trouver pour une équation du quatrième degré la fonction symétrique V == Sa2^ -f- c/.

L'ordre et le poids de Y étant 2 et 4, un terme de l'expression de Y en fonction de pï} p.,, />3, p4 ne peut contenir plus de deux facteurs p, et la somme de ses indices doit être égale à 4. On peut donc poser

V = Ap4 4- Bp3Pi + (>:.

Pour déterminer les coefficients A, B, C nous donnons à a, /;, c, d des valeurs particulières. Si nous supposons a =6 = 1, c d 0, nous aurons

/U=0> #8 = 0, Pz = h Pi = 7-2, Y = 4;

d'où l'on conclut C = 4 Si n =b c 1 , il 0, on u