Fonctions symétriques composées. — I- n, b

étant les racines de l'équation F(x) =^= 0, cherchons la l'onction symétrique -<-*T7/i, que nous représentons par sPjq.

A cet effet, multiplions membre à membre, les identités

sp = a? h&p + • • ~MP , sq =ai + &4 + ... f- /C1;

les termes du produit des seconds membres seront de dettx espèces : les uns composent la somme sp | q, les autres la somme •s-p.q; donc

■s'i. q = SpSq Sp j ,r

Cependant, si p = </, les termes de la seconde espèce sont égaux deux à deux et la formule cherchée est

2sr,:, = S2!, — S2p.

II. Pour calculer la fonction symétrique Eaq6pcr, que nous désignons par Sp,n,r, multiplions, membre à membre, les trois identités

*p = aP-4-ÔP -h ... + ^,

Sq = «q "f '>'' h ... -h^i

*r = rtr M1' -r- ... + /'■•

Le produit des seconds membres renfermera des termes de trois espèces suivant que l'on prend la même lettre dans les trois polynômes on deux fois la même lettre et une lettre différente ou trois lettres différentes; ceux de la seconde espèce peuvent encore se partager en trois groupes, suivant que la môme lettre est prise dans le premier et le second polynôme, ou dans le second et le troisième ou dans le premier et le troisième. D'après cela,

W> ■ --= -VI> I a l-i- h*p+q,r h^ihy. f- VH\q 4" *p,«i,r î (1)

en observant que les fonctions doubles ont pour expressions

Sp | p.r = *p | q-S'r 5p |.q | ,- , etC.

on l rou\ e

Cette formule doit être modifiée lorsque deux des exposants /;, <], r on tous les trois exposants sont égaux.

Supposons d'abord p = q /= r; les sommes désignées par sP] ,-,,, et s4-.| ,..,, deviennent égales et la somme désignée tantôt par *,.,,,, ,■ se réduit à 2sPiP>r. Donc l'égalité (l) se change en

Si /> = q — r, on a

111. En suivant la même marche, on calculera successivement les fonctions du 41' ordre, celles du 5e ordre, etc. Toutes ces fonctions s'expriment rationnellement par les coefficients de Fuvi.

Remarque. — Dans ce qui précède, nous avons ramené les

fonctions symétriques composées aux fonctions slt se, S3 et

ces dernières ont été exprimées par les coefficients de F.v).

Souvent, il est plus simple de recourir directement aux fonctions élémentaires -a, ~nb, -abc, ....

Soit, par exemple, à chercher -u-bc. Si l'équation proposée est du troisième degré, on a immédiatement

-a bc — abc )l.(i p%p\ ■

I )ans le cas général,

pip3 = ^labc.^a — ^>a2bc -f- %abcd,

d'où ~a-lc = plp3 — 7V