Produit des différences des racines d'une équation

Le dernier terme de l'équation aux carrés des différences de l'équation F(x) = .vm ~f A^y™-1 -f ... =-. 0 est

V=--(ô -a)* (cl— a)2 ...(/ — «)*(c 6)2 .. (i — A)*.

On a (43)

am-i /,m-i cm-l , /m-l

d'où, en faisant le carré du déterminant (*52),

ai— i -mu -mu | i

6'->iy> — ?

où Si = a1 + fr |- ... f /'.

( )n a aussi

V=(— 1) 2 F'(a)F'(6) ... F'(l), car F\a) == (a — bj (a — c) (a — /j, etc.

282 Théorème. — Une fonction rationnelle d'une racine unique de V équation F(x) 0, de degré m, peut toujours s'exprimer pur une fonction entière de celle racine dont le degré est an plus ni — 1 .

Soient <*/, l), ... / les racines do Fut), et considérons la fraction rai ionnelle

fa)

Rn multipliant les deux termes par »-'&)?(c) .. s /) on a

»(6;<p(c) ... œ /.; '/ = fia) - -—, , •

' o(a)«plôj ...» I)

Le dénominateur de la dernière fraction est une fonction

symétrique des racines de F .v , ei le numérateur est une fonc-

F[x) tion symétrique des racines de ; les coefficients du quotient

de FûV) par x — a sont des fonctions entières de n. Il résulte de

là que v se ramène à une fonction entière ty(a\ Si 'i(a) est d'un

degré plus élevé que F a) ou de même degré, divisons <b(a) par

F(a) ; nous aurons

puisque F (a) = 0. Le degré de R a) est inférieur à celui de •■!>(<•/ .

283 Elimination par les fonctions symétriques. — Tour que deux équations

f(x) = œ™ hPi^"1-1 4- ». -fRn =0,

aienl une racine commune, une certaine fonction R de leurs coefficients doit être nulle R est le résultant ou Véliminant de /(.Y! et i>1-v)173).

Soient »i, a2, . .. a.n les racines de la première équation; l'une d'elles doit vérifier la seconde équation. Par suite, le produit

ffMfffa) »•#(*!») (1)

doit être nul. Ce produit étant une fonction symétrique des racines de f{x), on peut l'exprimer par les coefficients />,, p2, .. pn] et l'on a ainsi R.

I *-a i* exemple, l'éliminant des équations

X2 | pxx -f- p2 = 0, .i-3 | - qv>:\ \ q.,X h q3 = 0 s'obtient en effectuant le produit

W I qA -f v>ai 4- 73) (*3 + QiA 4- v^-2 -H '/:»)

«»aîaâ4-5,i*ï«(ai 4"'aa)4-Sr**ia«(aî I aD h ?s(ai 4" ^ 4" ?ïaïa:!

et en éliminant a, et a2 au moyen des égalités

«1*2— J°a» *i 4- a2 = — Pu «Ï+k^/'Î — 2/>2, «î (-«? = — 1>i+32)iP3.

De môme, si plf p.,, .. pn sont les racines de g(x), l'éliminant 11 peut se déduire du produit