A?.) AP») •••/•(?„):

on effectue la multiplication et on substitue aux fonctions symétriques des racines j^, p2, ... leurs expressions en qx, q2, ... Comme on a

g{x)~(x-^)[x — ?,)... (.»-?n), /"(.a?) EE (a? — at) (a? - a.,) ... (x — ain),

les produits (1) et (2) se ramènent respectivement à

(«, - px) («, - ,3,) ... («, - pn) (a, - p,) ... (ain - p„), (S)

(p, — a,) (p, - a,) ... (3. - mm) (3., - aj ... (£„ - am),

expressions qui ne peuvent différer que par le signe. ^ Tous les termes du résultant ont le même poids mn, égal au produit des degrés des deux équations. En effet, si dans le résultant ou remplace plf p.,, ... qlf r/2, ... par — Sa, Ea^, ... , — 2p, , Spjp2, ... on doit trouver le produit (3). Or, chacun de ces coefficients renferme autant de facteurs a ou p qu'il est marqué par son indice; d'autre part, si l'on effectue le produit (3), chaque terme est composé de mn facteurs a ou p. Donc la somme des indices de chaque terme du résultant est égale à mn. Remarque. — Si l'on écrit

f(x) ee p0x™ -f p vx™ -1 -f . . . , g[x) = q0xn -f- q^-1 -f- . . . ,

et que l'on considère le résultant sous la forme (1) ou (2) (*), on

(*) On sous-entend ici que les a ou P sont éliminés au moyen des valeurs des fonctions symétriques, et que l'on néglige le dénominateur amené par ces valeurs.

NEUBERG — Algèbre 18

voit qu'il est une fonction homogène, de degré /n,. des coefficients de g'(x), et une fonction homogène, de degré ;/, des coefficients de /"(.Yi.

284. Théorème de Bezout. — Considérons un système de deux équations générales à deux inconnues :

/'(■'\//; = 0, ff[œ, y) = 0,

la première de degré m, la seconde de degré /?. Si on les ordonne par rapport à x, 'elles prennent la forme

£(a?,y) = g0.rin -f 7l.,-»--' -f- ç2.t»-2 4- ... f qn « 0,

où les coefficients /> et «y représentent des fonctions de 3* dont le degré est égal à l'indice du coefficient.

Soit x = a, y = /; une solution du système. Si l'on remplace y par /;, les équations /'(.y, y) = 0, &'(a', y; = 0 acquièrent une solution commune x = a; par suite leur résultant doit être nul. Si donc on égale à zéro le résultant de f(x, y) e>tg(x, y) en laissant subsister la lettre y, l'équation ainsi obtenue est V équation finale en y. Le poids du résultant écrit avec les lettres />0. plf ... (lo, '/n ••■ es^ mn ' en remplaçant ces lettres par des fonctions de y d'un degré égal à l'indice, on obtient une fonction entière de y de degré mil.

On en conclut que deux équations à deux inconnues admettent autant de solutions communes <jnil est marqué par le produit de leurs degrés.

Cet énoncé suppose deux équations générales, écrites avec des coefficients indéterminés. Dans des cas particuliers, le nombre des solutions communes peut subir une réduction.

Exercices et notes.

l* SP,1,r,t - SypqStSt — *~5p5q3r | t \~ --J'VV|-rft — GSp-fq \-r-\ t >

2ï*p,p,!M) = sl> ~ <>p.V>p + 8SpS.Jp 4- 3*3p — 6s4p .

2. a, b, ..., / étant les racines de F(jc) =0 et cp(jc) désignant une fonction entière, trouver la somme

V = ?(a) + cp(6) 4- ... -f-?(/).

Ou peut écrire symboliquement V = ïp{s), en remplaçant jcP par .vp

En observant que

et en effectuant les divisions indiquées, on peut identifier le reste de la première division, divisé par le diviseur Vix), avec la somme des restes des autres divisions, divisés par le diviseur correspondant, ce qui donne

ou K{oc) = S«p'a)(aj — ô) ... (x — /).

Egalons les coefficients des plus hautes puissances dans les deux membres : ce coefficient, dans le second membre, est égal à V, etc.