Propriétés fondamentales des mineurs

1° Tout déterminant D est égal à la somme des produits des éléments dune rangée par les mineurs correspondants.

2° La somme des produits des éléments d'une rangée par les mineurs homologues relatifs à une rangée parallèle est nulle.

1° Chaque terme du développement de D contient un élément et un seul de la ligne

Ctrr

«ri > «r2 > «r3 >

L'ensemble des termes en ar\ est représenté par ar\ Ari? de même les termes contenant ar% composent a^Ars, et ainsi de suite.

Tous les termes de D ayant été ainsi pris et chacun d'eux une seule fois, on a

D = «rlArl + «i-2 Ar2 -f ... -f- OmArn*

2° Les mineurs Ari, Ar2, ... Arn sont indépendants des éléments de la ligne r; par suite, si ces éléments sont remplacés par ceux d'une ligne parallèle, par exemple par

«pu >

«pi > «p2 t

la somme

«pi Avi + «P2Ar2 4- ... + «pnArn

représente le développement d'un déterminant dont les lignes de rangs p et r sont identiques. Cette somme est donc nulle. Par analogie

D = «isAis 4" «2sA2s 4" ••• + «ns Ans,

0 = «lqAis -f «2qA2s 4- . . . 4- «nqAn3 . (q-fis)

Exemple. — Soit le déterminant

dz d.

tt4 b4 c4 c?4 le développement de D suivant la 2e ligne est

bx cx d

b4 c4 cl4

ax cl dl

ax bx dx

az b3 d3 «4 b4 d4

al bx cY

48. Corollaires. — I. Si tous les éléments d'une rangée sont nuls à l'exception d'un seul, le déterminant se réduit au pro duit de Vêlement non nul par le mineur correspondant.

Pur exemple

b.? Co d0

II. Si /es éléments siûiés d'un côté de la diagonale principale sont tous nuls, le déterminant se réduit au terme diagonal.

Ainsi,

0 b2 Cç

cilb2c3.

III. Tout déterminant peut être mis sous la forme d'un déterminant d'ordre plus élevé. Par exemple,

0 rto ^o

a, 3, y étant des nombres quelconques.

49. Théorème. — £//* déterminant dans lequel chaque élément d'une rangée est la somme de p termes, est la somme de p déterminants obtenus en remplaçant les éléments de la rangée considérée par les premiers, les seconds, ...., les pièmes termes des sommes en question.

Par exemple,

! «i +^i +ex bx cl

ex b

En effet, si nous appelons A4, A2 A3 les mineurs relatifs à la première colonne, le déterminant proposé est égal à

(«i + ^i + <'i)Ai h («- -1- &% + C2)A2 + Os -I- ^ + ^)A3 , ce que l'on peut écrire ainsi :

(alAl + «2A2 + «3A3) h(^iAi+^2A2+^3As)4 (eiAj+^A.^^Ag). Neuberg. — Algèbre. 3

Or, les trois parenthèses sont les développements des déterminants

50. Remarques. — I- Si les éléments de la première colonne sont des sommes de p termes, ceux de la seconde des sommes de q termes, etc., on peut appliquer plusieurs fois le théorème.

Par exemple

I #i -f h\ a\ ~bi c\ \ = \ a\ a\ ~h\ ci / + I h\ a\ — bi ci I

= | ax al Cj — \ai bx cï +|ô, a1 c1 — bl by c}

= — 2 | a, bï Cj | .

II. Si les sommes relatives à une rangée n'ont pas le même nombre de termes, on remplacera par des zéros les ternies manquants.

Par exemple, l'équation

se ramené a

51. Théorème. — On peut ajouter aux éléments d'une rangée ceux dune rangée parallèle, multipliés par un nombre quelconque. (Principe de l'addition des rangées parallèles.)

Par exemple,

«i + Xô, -f t^ ^i Cj

En effet, le second déterminant se décompose ainsi (49) : I «1 h\ c, | + X I &! b1 cl | -f- {X | c, &! c, | , et les deux derniers déterminants sont nuls (42). Exemple — Calculer l'alternant

« ftc

Soustrayons la première ligne de chacune des autres ; il vient

a ca — ce

Si l'on soustrait encore la première ligne de la deuxième, on obtient

On arrive plus rapidement à ce résultat en observant que D s'annule quand on remplace a par /;, ou b par c, ou c par a ; donc

D = (b — a) (c — a) (c — b)ni,

m étant un l'acteur inconnu. Pour obtenir le terme diagonal bc3, il faut que m renferme un terme c; comme le développement de I) est une fonction homogène du 4'' degré en a, fr, c qui ne fait que changer de signe quand on échange deux des lettres a, b, c et que la dernière propriété appartient également au produit (b — a) (c — a) (c — />), m doit être une fonction homogène et symétrique du premier degré. Par conséquent, m = a -f- fr -f- c.

Multiplication des déterminants.

52. Théorème. — Le produit de deux déterminants d'ordre n es/ z//z déterminant d'ordre n do/if tes différents éléments s'obtiennent en multipliant une ligne quelconque du premier des déterminants donnés par une ligne quelconque du second (*).

Considérons, par exemple, les déterminants

ai Pi Ti

i*) Multiplier deux lignes, c'est faire la somme des produits des éléments correspondants des deux lignes.

et posons

alal + b$x + c^] «!«2 + b$.2 + c1Ï2 a^g + b$3 -f c^g

«2ai -+ ^Pi + C2Ï1 «2a2 + ^2^2 "h C2Y2 «,«3 + b„% -f C2Y3 «3«1 + #3Pl 4~ CgYl «3*2 + &rfï + C3Ï2 «3*3 + hh + C3Y3

il faut démontrer que P = DA.

Pour abréger le langage, appelons file de P l'ensemble des termes placés sur une même verticale.

On peut décomposer P en 27 déterminants partiels (50, I) ayant pour colonnes une file quelconque de la première colonne de P, une file quelconque de la seconde et une file quelconque de la troisième.

Ceux de ces déterminants partiels qui comprennent deux files de même rang des colonnes de P, sont nuls: par exemple

fl,a

= *ia2?:

Ceux qui sont formés avec trois files de rangs différents contiennent D en facteur. Tel est le déterminant

.Ta?

i désignant le nombre des transpositions qui ramènent la permutation acb à abc. Mais le même nombre / de transpositions ramène la permutation cr$ à a|fy; pa-E conséquent, ( — l/aiY2p3 est un terme du développement de A. On en conclut que les déterminants partiels de P qui ne sont pas nuls, sont égaux aux produits de D par les différents termes du développement de A ; leur somme est donc égale à DA.

53. Remarques. — I. Si l'on transpose (39) l'un des déterminants D, A ou les deux, on voit que leur produit peut s'effectuer en multipliant :

les lignes de D par les lignes de A, ou »• » » » colonnes » ,

ou » colonnes » » lignes » , ou » » » » colonnes » .

II Pour multiplier deux déterminants d'ordres différents, on les ramène au même ordre soit en élevant celui d'ordre inférieur (48, III), soit en abaissant celui d'ordre supérieur.

L'exemple suivant montrera comment on abaisse l'ordre d'un déterminant. Considérons le déterminant

où les nombres a, b, c sont supposés différents de zéro. Multiplions les deux dernières colonnes para; 1) sera multiplié para2. Retranchons ensuite de la 2e colonne la lre multipliée par b, et de la 3° colonne la lir multipliée par c; nous aurons

ab'

ac'

ab' -

ac' -

ab'<-

ac"-

ab"

ac"

III. Le produit de plusieurs déterminants ainsi qu'une puissance quelconque d'un déterminant peuvent se mettre sous la forme d'un déterminant.

54. Application à l'aire d'un triangle. — Soient (xi,y1),(xo,y2),(x3,y3), (Xl5 Yy) . . les coordonnées des sommets de deux triangles A1A2A3, I^I^Bs rapportés à deux axes rectangulaires.

Si A et B désignent les aires de ces triangles (*), on a

ou encore

X2 Vl

xz Pz

oc 2 y ^

xz Vz

(*) On démontre, en géométrie analytique, (pie

2A = xlyz — x%yx -f x2y3 — assy2 -f ®$V\ — &iV-i\

le second membre est bien le développement du déterminant | 1 x\ y\ \ . Cette formule donne à l'aire AxAoAg le signe -f- ou le signe — suivant qu'un observateur en parcourant successivement Ox et AjAj voit du même côté (à sa droite ou à sa gauche) respectivement l'axe Oy et l'aire A!A2A3 ou qu'il les voit de côtés différents.

En multipliant membre à membre on trouve