Formation des mineurs. — Considérons le déterminant
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Dans le développement de D, réunissons tous les termes qui renferment ara et mettons y cet élément en facteur commun; le polynôme qui multiplie alors ars est appelé le mineur correspondant à ars ou cofacteur de ars. Nous le désignerons par Ars.
Cherchons d'abord A.n. A cet effet, partons du terme principal
et permutons-y de toutes les façons les seconds indices à l'exception de celui de au, en ayant égard à la règle des signes. Les termes ainsi obtenus, si l'on en supprime le facteur au,
formeront Au; mais on les obtient également en développant le déterminant
CC oc) et
Ct,
Donc, le mineur An esf ég-a/ an déterminant qui résulte de D par /a suppression de la première ligne et de la première colonne.
Passons au cas général. Pour trouver Ars, échangeons la ligne r successivement avec chacune des r — 1 précédentes, ce qui multiplie D par (— l)1'-1 ; échangeons ensuite la colonnes successivement avec chacune des s —l précédentes, ce qui multiplie le déterminant par (— l)*-1. Ces transformations conduisent à un déterminant D' commençant par ars, et l'on a
D' = (— l)r-H*s-i D = (— lf+sD ;
il suffit maintenant de supprimer dans D' la première ligne et la première colonne pour obtenir le mineur de D' qui correspond à als. Ce mineur étant égal "à ( — l)l'+sArs, on a la règle :
Le mineur Ars est égal au déterminant qui résulte de D par la suppression des deux rangées qui se croisent sur ars, ce déterminant étant pris avec le signe -f- ou avec le signe — , suivant que Vêlement ars est pair ou impair.
Soit, par exemple, le déterminant
ax
dl
le mineur correspondant à c2 est
bl dx b3 d3 bA d4
