Si a -f a' + 6 + &' + c + c' «= 0, on a

tg (a + a') tg (« + V) tg (a + c') tg(ô + a') tg.(fr-fô') tg(ô + c')

tg(c + «') tg(c-M') tgfc 1-e')

Développer D et remplacer chaque terme par la somme de ses facteurs.

aa1

ce'

aa'

ce'

bb'

ce'

bb'

1 cr a2 a4 1 6 b2 ô4

1 f/ rf2 r/4

Ajouter à la 1^ colonne les autres multipliées par 1, 1, 1 ou par 1,-1 - 1, etc.

= 4àbc,

Le déterminant s'annule pour a = 0, pour b = 0, pour c = 0, etc.

b°~ bc c2 ca a2 ab

(a2 — te) (68 ~ c«) (c2 — a&).

Si l'on divise les lignes du déterminant respectivement par b-, c-, a-, on obtient un déterminant de Vandermonde.

(c -f ay

2abc(a -f 6 -f- c)*

Le déterminant s'annule pour a — 0, d'où le facteur a, etc.; en retranchant la l,e colonne de chacune des autres, on trouve deux fois le facteur a | b -\-c, etc.

1 sin x cos x 1 sin y cos y 1 sin z cos s

Le déterminant se ramène à

.-, x . x cos-- f-sm2 9 2

4 sin g(«? — y) sin- (y

*)*sin 5 (a?— *).