DÉTERMINANTS SYMÉTRIQUES

70. Un déterminant est dit symétrique lorsque tout élément àra est égal à son conjugué asr.

Neuberg. — Algèbre 4

On voit aisément que les mineurs Ars, Asr d'un tel déterminant sont égaux, donc le réciproque d'un déterminant symétrique est lui-même symétrique.

Soit D un déterminant symétrique nul. On a (65, I)

An Air

-> d'où A]r -= Ari = v/AnArr,

AJT

le radical étant pris avec un signe convenable.

Si l'on borde le déterminant symétrique nul d'une colonne et d'une ligne, la relation (68)

An(I)x')-- (.r'1A11+a."'2A12 + ...-f-^'Ain)(ir1Au + #2A2i-b-- + ^nAni),

à cause des égalités (1), prend la forme

(Di)=— (œjv A11+y2i/'A2„-f-...+^',yAnn)(a71i/All-|-.rok A22-f-...-f-a?n|/Ann);

les radicaux ont respectivement les signes de An , A,,,..., A]n. En particulier, si x'T — xr, on a

•(Dï) - - - [xx i/An + œ2\/A22 + ... + xn i/An„)«.

71. Déterminants symétriques gauches. — Un déterminant est dit symétrique gauche lorsque les éléments conjugués sont égaux et de signes contraires et que les éléments diagonaux sont nuls. Tels sont les déterminants

Tout déterminant symétrique gauche d'ordre impair est nul ; car si on multiplie chaque colonne par — 1, on obtient le déterminant transposé, et comme le déterminant proposé change seulement de signe, iJ est égal à zéro.

Etant donné un déterminant symétrique gauche, les mineurs relatifs à deux éléments conjugués sont égaux et de même signe, ou égaux et de signes contraires, suivant que Vordre du déterminant est impair ou pair. En effet, on passe de Ars à Asr en transposant Ar^ et multipliant ses colonnes par — 1.

Tout déterminant symétrique gauche d'ordre pair est le carré

r/'u/ie fonction rationnelle des cléments. Pour plus de facilité, nous considérons un tel déterminant sous la forme

avec les hypothèses an = a2, ... = ann - 0, ars = — asr. Posons

«Il

.. alu

Ûfgl

^nn

"~ &ïi

«In

"ni «n>

et appelons An, A,.M ... les mineurs de D; comme D est symétrique gauche et d'ordre impair, il est nul. En appliquant une propriété des déterminants symétriques nuls, bordés d'une ligne et d'une colonne (70), on trouve

A = = — (Dxx) = Kl/An -h ,r,i/ A2, + ... -|- .Tnl/Ann)s.

Mais Au, A ,2 Ann sont des déterminants gauches d'ordre

i} — 1 ; donc si le théorème est vrai pour l'ordre n — 1, il est vrai également pour l'ordre n -j- 1. Or, le déterminant gauche du second ordre est de la forme

donc la proposition est démontrée.

rf-

ExERCICES ET NOTES.

1. Le nombre total do dérangements contenus dans tontes les permuta-

. 1 2 lions de ;/ éléments est égal a rCnPn •

2. Les permutations a^., ... a^t>xb% ... bq , bxb2 ... b^a/i-, ... av sont de la même classe ou non, suivant que ( — l)pq est positif ou négatif.

3. Dans le déterminant du 5e ordre, trouver les signes des termes

4. Trouver le signe du ternie qui correspond à la seconde diagonale d"un

déterminant d'ordre n. Réponse : celui de (— l)2

5. Trouver la valeur numérique du déterminant {carré magique)