ÉQUATIONS LIN KA I RES

Équations non homogènes.

72. Système de n équations du premier degré à n inconnues. — Nous considérons un tel système sous la Corme

arix} | aT%x.2 -f '.. |" rtni.rn — bv = 0. (r 1, 2, ... n):

Soient X{, X2, ... X'n les premiers membres de ces équations :

auœï + d\.zx.2 h ••• -f «ip-^p f ••■ I ^in-'"n — &i ,

X, : a.nxx | ct2,,x.2

atpPv

CtzaXn

^iiii'^'n ^

X„ ee ^nl.rL f a.,..a?2 - (- .

le système proposé sera

X1 = 0, X2 = 0, ... Xn==0. (2)

Nous désignons par D le déterminant des coefficients des inconnues :

<ln Cll2 ... ci\u

«21 Clll ■" CltXi

«ni ^!i2 ••• #nn

I) est appelé le déterminant du systènie (2). Nous représenterons ses mineurs par An, Ale, ....

73 Théorème. — Un système de n équations du premier degré à n inconnues dont le déterminant I) /t'es/ pas /ni/, admet une solution et nen admet qu'une seule. Les valeurs des inconnues ont pour dénominateur commun le déterminant D; le numérateur de chaque inconnue est le déterminant qu'on obtient en remplaçant dans D les coefficients de cette inconnue par les termes connus correspondants, ceux-ci étant supposés écrits dans les seconds membres des équations.

Ajoutons membre à membre les identités (1) multipliées respectivement par les mineurs relatifs à une même colonne de D,

soit par

Aip, Aty, ... A;,p,

quantités qui ne sont pas toutes nulles puisque D =h 0. Xous aurons

A pX, -f- A2,X, 4- ... 4 AnpXn )

= («îiAip 4 fl21Aj8P 4 -ki 4 («is Ai., 4 «22A2p -f ...).r2 4- ••■ [ (3) 4 («iPA;p 4 «2,A2, -f . K, 4 ... — Pi Ai , -f M2, + . .) • I

Dans celte nouvelle identité, le coefficient de xv est égal à D (47) et (!eux des autres inconnues sont nuls; la quantité

&iAip -f- &?A2p 4 . . 4^uA.p

est égale au déterminant D où la pe colonne est remplacée par &!, b2, ... bn, nous la désignons par Dp. L'égalité (o, se réduit donc à

AipX, |- A2pX2 -f ... 4 An,Xn se Vxv - D„. (3r)

Remplaçant p par 1, 2, ... /*, on voit que les identités d) entraînent les suivantes :

A„X, 4 AS1XS+. . 4 AU,X„ = 1)^-1),, À18X, 4 AMX, 4 • • 4 An2Xn EE \\r, - D2, |

AmX, -}- A2nX2 4 ... 4 AnnXn = D.l'n — Dn.

Par conséquent, s'il existe des valeurs de xl, x.2, ...xn qni vérifient les équations (2), ces valeurs vérifient également les équations

Dx,— Dj=0, lu-, ~I), = 0, ... Dxn — Da = 0. ;5)

Comme I) A 0, le système (5) admet une solution et une seule :

11 reste à montrer que ees nombres satisfont au système (2). A ce! effet, ajoutons membre à membre les identités (4) multipliées respectivement par les coefficients des inconnues de l'une des équations données, soit par

quantités qui no sont pas toutes nulles. Dans l'égalité résultante, le coefficient de Xr est

«rlAn -|- ÛfrâAr: -f ... -f atllArù — D,

et les coefficients des autres quantités X sont nuls v47); on a donc

DXr = av (D*, — D,) -h ar>(l)x2 — I),) -f .. + am{T)xn — D).

Cette identité montre que les valeurs (0) vérifient l'équation Xr = 0, et comme on peut faire r = 1, 2, ... /?, elles satisfont au système proposé ('?).