Remarques. — I. Supposons

I) ^0, bx = h., ... --ba = 0;

les équations (5) ont la forme Dxv 0. Donc un système de n équations linéaires et homogènes à n inconnues dont le déterminant n'est pas nul, admet la seule solution

;cx = 0, oc2 0, . . ocn = 0.

IT. Supposons D — 0, D,, /-- 0; le système (2) est impossible. En effet, l'identité (3'j se réduit à

ÀjpXj -f- A2jX.2 -f- ... -\- AnpXn ee — Dp;

on en conclut qu'ii no peut exister de valeurs de xl,x2, ... xn annulant à la fois XM Xj, ... Xn.

75. Théorème. — Etant donné un système de n + 1 équations du premier degré à n inconnues, si n de ces équations admettent une solution unique (ont un déterminant différent de zéro), /a condition nécessaire et suffisante pour que cette solution vérifie Véquation restante, est que te déterminant formé avec les coefficients des inconnues et les termes connus des n |- 1 équations soit nul.

Soit le système

X1=0, X2 = 0, ..., Xn = 0, Xm = 0, («t-n+i;

Xr = «ria\ -f- 8r»#2 "4" ■•■ I" ftrn^ii — ^v

Posons

Cv J o

#21 ft2i

«In &i ' «2n #•>

tlm\ Ctm% . . . ttmn bm

Si Ton multiplie la dernière colonne de A par — 1 et qu'on y ajoute les autres colonnes multipliées par des nombres quelconques .v,. x>, ... xn, on trouve

aX2

(fln Xj «2n X.,

«ni an2 ... ccnn Xn

Prenons pour ces nombres .vlt a\, ... xa la solution unique qu'admettent, par hypothèse, les équations

xn- 0,

et désignons par D le déterminant du système (2;; l'égalité (1) devient

A- -DXm.

On en conclut (pie si la solution des équations (2) vérifie également l'équation X:n 0, on a À = 0 ; réciproquement, si A = 0, l'équation X.m = 0 est compatible avec les équations (21.

Remarque. — En sous-entendant la condition 1) -^ 0, on énonce souvent le théorème précédent sous la l'orme :

Pour que n -f- 1 équations linéaires à n inconnues soient compatibles, il faut et il suffit que le déterminant formé avales coefficients des inconnues et les termes connus soit nul.

Equations homogènes

76. ('n système d'équations homogènes en.Vj, ,\\, toujours la solution

Xn admet

que l'on nomme la solution zéro. On fait souvent abstraction de cette solution, et l'on dit même que le système est impossible quand il n'a pas d'autre solution.

Si le système homogène admet une solution (a-j, oc2, ... xn) dont tons les nombres ne sont pas nuls, il est également vérifié par les nombres (Xan Xa2, . . Xa„)j quel ([ne soit le facteur À. Ces solutions sont considérées comme une seule et on les représente par les proportions

hn />■» /y*

1A/ 1 \Aj ri t>v Y\

Kj a2 a„

Si l'un des conséquents est nul, l'antécédent correspondant est également nul,

Un système non homogène peut être rendu homogène en remplaçant les inconnues xl1 .v2, ... ,vn par

/y* /y» ry%

iVn-fi étant une inconnue auxiliaire à laquelle on peut donner une valeur quelconque antre (pie zéro.

Nous allons adapter les théorèmes (73) et (75) aux équations linéaires homogènes