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/!(*) = Atf™"n -h . . . + G, £(*) - ^ + • • • + ^-q '
de sorte que /'(oc) = acn[/Y(#) — AO*)]-
Si l'on fait croître a: de 0 à oo, /\(tf) croît constamment et f.,\x) décroît; donc la différence f\(x) — f2{x) croît toujours. Or, cette différence commence par une valeur négative et finit par une valeur positive; elle passe donc par zéro pour une certaine valeur x = a, et reste positive pour toute valeur de x supérieure à a. La proposition est donc démontrée.
Cela posé, soit à chercher une limite supérieure des racines de
En groupant ainsi :
(#5 | xi — œ*)-\- {.x — 10000),
et observant que le premier groupe est positif pour x > 1, et le second pour x > 10030, on voit que 10000 est une limite des racines. Mais en écrivant
(xr> — 10000) 4- G»4 — oo3) 4 #,
on obtient la limite \/ 10000.
La méthode de Lagrange donne 1 4 y 10000 ou 101. Remarque. — On peut aussi employer des groupes ayant plus d'une variation, ainsi que nous allons le montrer sur l'équation
x+ — ojj3 .f \lx- — 23x 4 1=0.
Décomposons 17.v2 en 10.V2 -f- 7x2 et groupons ainsi :
Le trinôme x2 — 5x + 7 dont les racines sont imaginaires, est constamment positif; le binôme l(Xv — 23 est positif à partir de x = 2, 3; une limite supérieure est donc 2, 3.
La méthode de Lagrange donne L = 24.
143. Méthode de Newton. — On obtient une limite supérieure des racines de l'équation F(x) = 0 en cherchant un nombre qui rende positives la fonction F(x) et ses dérivées.
En effet,
Via + h) =- F(a) +- h¥\a) + ^ F>) -h ... ;
donc, si les nombres F(a), F'(a), F"(a), ... sont positifs ainsi que h, on a aussi F (a -f- h) > 0, et aucun nombre supérieur à a ne peut être racine. On aurait la même conclusion si a annulait quelques dérivées de ¥(x) et rendait positives les autres.
Voici comment on applique la méthode. La dernière dérivée, égale à ni! A0, est positive. On cherche une valeur ax de x rendant nulle ou positive la dérivée F^m-1)(5c) qui est du premier degré. On examine ensuite si cette valeur rend nulle ou positive la dérivée ¥^m~2){x) ; si Fm 2(al) < 0, on cherche une valeur a., supérieure à ax rendant la dérivé F^n-%v) positive ou nulle. On substitue a2 dans F(m~'3'(ac) ; si le résultat est négatif, on remplace x par un nombre plus grand jusqu'à ce qu'on arrive à un résultat F'm~3fa3) > 0, On continue ainsi jusqu'à la fonction ¥(x) elle-même. Le dernier nombre substitué est une limite supérieure des racines de F(x).
Dans les essais, il est inutile de revenir sur les polynômes déjà examinés; car si un nombre b rend positives ou nulles la dérivée d'ordre m - p et celles d'ordre plus élevé, pour tout nombre supérieur à b on a F'^~^(x) > 0.
Pour les nombres a15 a2, ... on prend ordinairement des nombres entiers.
Exemple. —
F(a?) = a?» j lxi 12^3 58^ + 52aJ .__ l3j F'(x) = 5x4 H- 28a;3 — 36a;2 — 116^ + 52,
Vm(r)
1 2 3 " lttr* + 28a? ~~ 12' FIV(») r , 7
Or,
FIV\0) > 0;
Donc 3 est une limite supérieure des racines de ¥(x).
Remarque. — Appelons, pour un moment, limite supérieure des racines dune équation Y{x) = 0 un nombre L tel que l'équation n'ait pas de racine plus grande que L, et limite inférieure un nombre L' tel, que l'équation n'ait pas de racine plus petite que L'.
La règle de Newton pourra être énoncée et complétée ainsi :
Tout nombre qui substitue à x dans la suite
F[x), F\œ), F"(œ), ... F^-1^), Fm\x),
donne des résultats de même signe, est une limite supérieure des racines de F(x) ; si les résultats sont alternativement jjositifs et négatifs, le nombre substitué est une limite inférieure.
En effet, si les nombres.
F(rti, F'{a), ... F.'»-1 (a), F("V)
sont positifs, on a Y (a -\~ h) > 0 pour toute valeur positive de h, et l'équation n'a pas de racine plus grande que a. Si ces nombres sont alternativement positifs et négatifs (ou négatifs et positifs), F (a — h) a le signe de Y (a) pour toute valeur positive de h, et l'équation ¥(x)=Q n'a pas de racine plus petite que a.
144. Méthode de Thibault. — Un nombre a est limite supérieure des racines de V équation F(x) = 0, si les coefficients et le reste de la division de F(x) par x — a sont positifs.
Soient B0, Bl5 ... Bm i , Bm ces coefficients et ce reste, de sorte que
F (a?) = (œ — a) (Bo^-1 + B^m-2 -f ... + Bm i) + Bm.
S'ils sont positifs, on a F(x) > 0 pour toute valeur de x supérieure à a.
Remarque. — On connaît le procédé rapide pour calculer les nombres B (117); ce sont les valeurs des fonctions
F., = A0x2 -t- Arx -1- A2,
Fm = A0x™ + A^™-1 + . . -h Am,
pour a* = a.
Tout nombre a qui rend positives les fonctions F„, Fj, ... ¥p(p < m), est une limite supérieure des racines de l'équation Fp = 0; car F0, F15 ... Fpsont aussi les fonctions de Laguerre de Fp.
145. Règle de Bret. — On obtient une limite supérieure des racines d'une équation algébrique F(x) = 0 en divisant chaque coefficient négatif, pris positivement, par la somme des coefficients positifs qui le précèdent, et en ajoutant l'unité à la plus grande des fractions ainsi obtenues.
Soit, pour fixer les idées, l'équation A0xm + A^m-1 J A2Xm-2 A3^m-3 [...— ^m-p -f . . . ± Am -= 0, ( 1 )
les signes des termes étant mis en évidence. Transformons chaque ternie positif au moyen de la formule
en écrivant y au lieu de x — 1, nous obtenons
F[x) = A0ya?"-i + Kv + ALy
,/cI
2 + A0,y + Alty + A2y — A,
a?m-8 + Aoy
.Tm - 4 4 •
4 AKy
Si nous supposons x > 1, toutes les colonnes où il n'y a pas de terme négatif seront positives. Le ternie en xm~3 sera positif si
y(A04-A1 + A2)-.A3>0 ou ^>-A +a3 + A +1;
celui en xm~- P— 1 lest pour
Ap A0 | A, ; A2 h...
le dénominateur étant égal à la somme «les coefficients positifs qui pré cèdent Ap dans l' équation (1) On a donc F(x) > 0 pour toutes les valeurs de v\- supérieures à la plus grande des quantités de la forme
A0 ! A1 | A,-|- ... ' Exercices et notes.
