r4 — 21Kx3 — | K2.r2 — ~ IvVr -f 2K
Divisons cette équation par 9 et exprimons que les coefficients
se réduisent à des nombres entiers. La plus petite valeur de K est 12: la transformée correspondante est
xi 36 rs — ICte2 — ll&c -f- 4608 = 0.
135. Problème. — Diminuer, d'une quantité donnée h, les racines d'une équation F(x) = 0.
On doit avoir
éliminant x on trouve la transformée F(/i -f- y) = 0, c'est-à-dire
F(h) + x¥\h) + ^ F"(h) + ... + -, PW(*) = 0,
où la lettre # remplace y.
La méthode suivante, due à Horner, est plus rapide quand il s'agit d'équations numériques. On divise F(x) par x —h, le quotient par x — h, le second quotient par x — h et ainsi de suite. Ces opérations donnent les identités suivantes :
F(.r) « (or— ^ + -Rlf Ql ={:v — h)Q2 + R2,
Qm i = {x — /i)Q,„ 4- Rra.
Eliminons Qn Q Q „ [ en ajoutant ces relations membre
à membre après avoir multiplié la seconde par x — h, la troisième par [x -- lir, etc. Nous aurons l'identité
On en conclut; en remplaçant .v — h par .y, l'équation cherchée :
R, -\- R2x -f R3.t~ + ... + Qm^',n — 0.
Ainsi : Ponr diminuer de h toutes les racines d'une équation, on divise le premier membre par x — h, le quotient de cette division pur x — h, le quotient de ta seconde division par x — h ; et ainsi de suite. Le dernier quotient et les restes de ces divisions sont les coefficients de la transformée.
Cette règle est analogue à celle qui sert à faire passer un nombre entier d'un système de numération dans un autre.
Application. — Diminuer de 2 les racines de l'équation
ox* — Ax* -Y- Sx2 — Sx -f- 7 = 0.
Les divisions successives de F(x) par x — 2 s'effectuent par le procédé rapide indiqué (116) :
Coefficients
de F(x) .
Qi
37 \iY
ft
Transformée : dx4 -f 3ôx'4 + 104sr + Uloc + 81 = 0.
136. Problème. -- Faire disparaître le deuxième terme d'une équation
\0xm -f A^™-1 + ... H- Am!o; + Am - 0. (1)
On suppose Aj ^ 0, et la nouvelle équation doit être de la forme
B0?/m + B2*/™~2 -h B3.^-3 + ... + Bm =0. (2)
La somme des racines de l'équation (2) étant nulle, il suffit de diminuer chacune des racines de (1) du me de leur somme ou de poser
y = x -f- -T7- — oc -4- - = — > (3)
• wia0 q q
' désignant la Traction irréductible égale à ' .' • La transfor- (j m\{)
mation (3; peut se décomposer en d'autres plus simples :
On obtient l'équation en x' en multipliant par (j les racines de (1); on diminue ensuite de — p les racines de la nouvelle équation; enfin, on divise par q les racines de la dernière équation. Mais les deux premières transformations suffisent.
Exemple. — 3x4 — Sx:i — 6oc -j- 4 = 0.
On diminue les racines du. quart de leur somme, ce qui revient à poser
Il est même plus avantageux de poser y = Sx — 2, ou d'effectuer les transformations
• x] =± Sx, y = x' — 2.
L'équation en x' est (133)
3x'+ — 8 . 3;r'3 — 6 . 3 V + 4 . 34 = 0. En la simplifiant par 3 et diminuant de 2 les racines, on trouve y' — 24y2 — 118?/ — 48 = 0.
137. Remarque. — On peut se proposer de faire disparaître un terme quelconque de l'équation F(x) = 0. Si l'on diminue de h les racines, on a la transformée (135)
F(h) + yF'(A) -j- f0 F"(/,) + . . . + VA y;m (à) - 0 .
Pour faire disparaître le terme en y1', on pose F^(/î) = 0, ce qui donne une équation de degré ni — p en h.
Le terme indépendant sera nul si Y h) = 0; h est alors une racine de l'équation proposée. Ce résultat s'explique facilement.
138. Problème. — Former l'équation admettant pour racines les inverses des racines d'une équation donnée F(x) == 0.
Il faut éliminer x entre les équations
La transformée est Ff - ) = 0, ou en écrivant x pour y :
A0 + Avx + ... + Am i^-i | \mœm -= o.
Remarque. — Si la transformée se confond avec l'équation proposée, celle-ci est dite équation réciproque. A toute racine a
de F(x) = 0 correspond alors une autre racine égale à - •
139. Transformation homographique. — Les transformations précédentes sont comprises dans la transformation homographique :
rx — D kxy + By + Cx + D = 0, ou y = - j~^ ' (D
Par exemple, si A = 0, D = 0, on multiplie les racines de l'équation proposée par un nombre constant. De la formule (1), on tire
lit/ + D
x~~ Ay+~c '
de sorte que la transformée de ¥(x) = 0 est
On peut présenter autrement le calcul de cette transformée.
Rendons l'équation proposée homogène en remplaçant x par , :
A0x™ + A^-W + ... -f Am-.^'»-1 -f Am.x-'m = 0, et désignons par , la racine de la transformée; la transforma-
tion homographique correspond à la substitution
x = ay -f- by\ x' — «'j/ -}- &V •
Limites des racines.
140. Définitions. — On dit qu'un nombre positif L est une limite supérieure clos racines positives de l'équation à coefficients réels F(.v) ==0, si L est supérieur à la plus grande racine positive de cette équation. Supposons le premier terme de F(x) positif; alors si l'on a F(x) > 0 pour A' > L, L est une limite supérieure, car il n'y aura pas de racine supérieure à L.
On appelle limite inférieure des racines positives de l'équation F(a*) = 0, tout nombre / inférieur à la plus petite racine positive. Pour obtenir une telle limite, on peut chercher une limite supérieure Iq des racines positives de l'équation F( -)=0 et poser /— ■
Pour trouver deux nombres — L' et — /' entre lesquels sont comprises les racines négatives de l'équation F(.v) = 0, on cherche une limite supérieure L' et une limite inférieure /' des racines positives de la transformée F(— x) = 0.
Lorsqu'un polynôme à coefficients réels est ordonné suivant les exposants décroissants de x, on appelle variation la succession de deux ternies de signes contraires ; la variation est descendante ou ascendante suivant que le terme positif précède ou suit le terme négatif. La succession de deux termes de même signe a reçu le nom de permanence. Ainsi, le polynôme
présente successivement deux permanences, une variation descendante, une permanence, une variation ascendante.
141. Méthode de Lagrange. — Quand le premier coefficient d'une équation est l'unité, une limite supérieure des racines est
X désignant la plus grande des valeurs absolues des coefficients négatifs, et p la différence entre le degré de Véquation et celui du premier terme négatif.
Soit l'équation
¥{x) = xm + A^m-i | ... + Am = 0.
Si le premier terme négatif est celui en xm~v et si N est la plus grande valeur absolue des coefficients négatifs, on a pour toute valeur positive de x :
F (œ) > x™ — N(a?m~P -f tfm-i'-1 + ... f- 1) ; (1)
car on a augmenté la somme des termes négatifs, remplace les termes positifs à partir de^m^par des termes négatifs et négligé les termes positifs compris entrer111 et xm~P. L'inégalité (1) donne, si x > 1 :
„, . ^T xm~v+l — 1 xm(x — 1) — N^rm-P+1
Fa? > xm — N 1 > — — ~ i—
Pour avoir F(x) > 0, il suffit que x vérifie la relation
xm(x — 1) — Najm~"P+1 > 0,
on, en divisant par xm~v+l,
xv~l{x— 1) — N > 0,
et en remplaçant t\,p -1 par la quantité plus petite (x — l)p 1,
(ce — 1)P — N > 0,
ce qui revient à
Remarques. — I. Mac-Laurin avait indiqué la limite
L-l-j-N; on l'obtient en observant que pour toute valeur positive de x,
F[x) > xm — N(a?m-i + a?m~2 -f ... -f 1),
ce qui est l'inégalité (1) où l'on remplace p par 1.
p/ II. La limite 1 -f- y/ N est aussi une limite supérieure des racines de
l'équation dérivée F'(jc.) = 0. Car si l'on applique la méthode de Lagrange à l'équation — F'(x) — 0, le nombre p ne change pas, et les coefficients
sont plus petits que les coefficients correspondants deF(jc); on obtient
Vf donc une limite plus petite que 1 -j- V/N.
142. Méthode par groupement des termes. — On obtient une limite supérieure des racines en décomposant te premier membre de V équation en plusieurs polynômes présentant cha-
cun au plus une variation (descendante) et en cherchant un
nombre qui rende tous ees polynômes positifs ou nuls. Cette méthode repose sur la proposition suivante : Si un polynôme f(x), présentant une seule variation (desceii
dante), est positif pour une valeur positive de x, il reste positif
à partir de cette valeur.
Soit le polynôme ordonné
/•,,,.) = Axm -f Bœ™-1 -h ... f Gton — (H#p 4 Ixv~l 4 .. 4 Mx*).
On peut écrire
Posons
