A, \- ak

.TP+1 . . — At

— ^At-f-!

-f- rtAs.TR.

F (xi contient une seule variation entre les termes \mxm et Anxn; la partie correspondante du produit F(x) (x — a) en contient au moins une, car elle commence par le terme positif Am5Cm+1 et se termine par le terme négatif — (A„ + aAn+1)^n+1. De même F(x) a une seule variation entre les termes en xn et #p, tandis que Fix) (x — a) en a au moins une dans la partie allant de xn+l à 5CP+1. En continuant ainsi jusqu'au terme — AtxtJ on trouve au moins autant de variations dans le produit F(x) (x — a) que dans le multiplicande. Mais à partir de x\ F(x) ne présente plus de variation, tandis que le produit en a au moins une entre x^1 et xs; cette conclusion subsiste aussi dans le cas où le dernier groupe de F(x) est remplacé par un seul ternie — AtX1.

Il résulte de là que le produit F(x) (x — a) a au moins une variation de plus que F(x).

Le premier et le dernier terme de F(x) étant de signes contraires, F(x) a un nombre impair de variations; ceux de F(x) (x — a) étant de même signe, ce produit a un nombre pair de variations. Donc le second polynôme présente un nombre impair de variations de plus que le premier.

Les raisonnements et les conclusions sont les mêmes lorsque le dernier groupe de F(.v) est composé de termes positifs.

147. Règle des signes de Descartes. — Le nombre des racines positives dune équation algébrique à coefficients réels ne surpasse pas le nombre des variations de son premier membre; quand il est moindre, la différence est paire.

Soient a^ a2, ... aP toutes les 'racines positives, distinctes ou non, de l'équation F(x) = 0; on peut écrire

F(x) = (x — ax) (x — tic,) ... (x — ap)f(x),

f[x) étant une constante ou une fonction entière qui n'admet pas de racine positive. Dans le premier cas, la proposition se vérifie immédiatement, le développement du produit (x — aj .. . (x — ap) ayant /) variations. Dans le second cas, f(x) dont le premier terme peut être supposé positif se termine par un terme positif; sans quoi l'équation f(x) = 0 aurait au moins une racine positive (127). Le nombre des variations de f(x) est donc nul ou pair; désignons-le par 2k. Si on multiplie f(x) par x — al5 le nombre des variations augmente d un nombre impair 2k 1 -\- 1 ; si on multiplie le résultat par x — a2, le nombre des variations

augmente de nouveau d'un nombre impair 2k2 |- 1 ; et ainsi de suite. Donc le nombre des variations de F (.y) est

v = 2k + (2k, + 1) + [2k2 + 1) + . . + (2AP | • 1) = 2(*4*i+ ... + ^P).4-P.

Les nombres fe, fe^, ... A'p étant positifs ou nuls, on a

li étant positif ou nul,

148. Corollaire I. — Le nombre des racines négatives d'une équation ne surpasse pas le nombre des variations de la transformée en ( — x) ; s'il est moindre, la différence est paire.

Car les racines négatives de F(x) — 0 correspondent aux racines positives de la transformée F(— x) = 0 (132), et inversement.

149. Corollaire II. — Quand une équation a toutes ses racines réelles, le nombre des racines positives est égal au nombre de ses variations, et le nombre des racines négatives est égal au nombre des variations de la transformée en ( — x).

Soient :

m le degré de l'équation F(x) — 0 ; p le nombre des racines positives; n » )> négatives;

v » des variations de F (.v) ;

v' » » de F( — x).

Observons d'abord que la somme v -\- v' ne surpasse pas le degré de l'équation. En effet, si le polynôme F(x) est complet, il renferme m -f- 1 termes ; par suite, le nombre des variations et celui des permanences de F(x) ont pour somme m. Mais le changement de x en — x transforme les variations en permanences et réciproquement; car deux termes consécutifs renfermant des exposants de parités différentes, un seul change de signe. Ainsi, dans le cas d'une équation complète, v -[- v' = m. D'un autre côté, si l'on supprime quelques termes de F(x), les nombres v, v' pourront bien diminuer, mais il n'augmenteront pas. Donc

Xeuberg — Algèbre. 9

En vertu du théorème de Descartes,

p <y, n < v\ d'où p -f- n < v -f- yf? (2)

et à cause de (1),

Comme toutes les racines sont réelles, on a

ce qui exclut le signe < des relations précédentes ; donc

150. Corollaire III. — Toute équation qui ne présente qu'une variation, a une racine positive et une seule.

Cette proposition, qui a été démontrée directement cidessus (142), résulte aussi du théorème de Descartes. De plus, nous voyons maintenant que la racine positive est simple.