Exemples. — I. Soit l'équation
œe ) 4^5 9x4 . 7cc3 | 8^,2 __ 4œ 3 ^ o.
Comme elle présente trois variations, elle a trois racines positives ou une seule. Il est inutile de chercher la transformée en — a* : l'équation étant complète, on a (149) v -f- v' = m ; donc v' — 3 et les racines négatives sont au nombre de 3 ou 1. II. Considérons encore l'équation incomplète
On a v = 2, v' =-2, d'où
par suite l'équation a au moins quatre racines imaginaires.
Remarque. — Dans les équations incomplètes, la somme v -f- v' est généralement inférieure au degré m de l'équation ; on en conclut l'existence d'au moins m — (v -\- v') racines imaginaires.
Symptômes d'imagixarité.
152. Règle de Sturm. — Si la multiplication de F(x) par x — a, a étant positif, introduit 2k -|~ 1 variations, l'équation F(xj = 0 a au moins 2k racines imaginaires.
Soient : D le nombre des variations de F(x) ;V celui de F(- a*); p le nombre des racines positives de F(x); n eehii des racines négatives: en lin, in le degré de F(x).
Posons (x — a) ¥(x) = v(x). L'équation tp(jc) = 0 a p + 1 racines positives, zi racines négatives, v-{-2k-\-l variations; donc •(— x) a, au plus, (m -f- 1) — (w -f- 2A* |- 1) variations : ainsi
n <jm — (v -f- 2A), p ■ . v.
Il en résulte
le nombre des racines imaginaires est donc au moins égal à 2k.
Remarque. — Semblablement, si la multiplication de F(x) par x -f- a fait perdre 2k variations (*), V équation F(x) = 0 a, au moins, 2k racines imaginaires.
En effet, l'équation (a* -f a)F(ac) = 0 a p racines positives, n -f- 1 racines négatives, v — 2k variations. On en conclut
p <^v — 2£; et comme n <. v',
D'ailleurs, v -j- v1 < m ; donc à plus forte raison
Donc l'équation F(ac) — 0 a au moins 2A* racines imaginaires.
153. Théorème. — Le nombre des racines imaginaires d'une équation incomplète est au moins égal a la somme des nombres de racines imaginaires de toutes les équations binômes qu'on obtient en égalant a zéro chaque groupe de deux termes consécutifs de V équation proposée.
Soit l'équation ordonnée suivant les exposants décroissants de x,
Aœ** + Bxv -f Gafl- + ... + UœT -f- Kx* -f- L = 0. (1)
Désignons par v]9 vzi . . v^ les nombres des variations des groupes
' j Les nombres des variations de F(x) et (aî-f-a) F(x) sont de même parité, parce oue les derniers termes de ces polynômes ont le même signe.
par v\, v'2, ..., y'h les nombres des variations de ees groupes quand on change x en — x; ees nombres sont égaux à 1 ou à 0. On a
D'autre part, l'équation
kxm -f- Ba?P — 0
ayant p racines nulles, v1 racines positives (*) et u'j racines négatives, a /n — p — (ul -\- v\) racines imaginaires; de même, les autres équations obtenues en égalant à zéro les binômes (2) ont respectivement
p fJ (t,2 4. v}2), .. ,s — (vh H- r'h)
racines imaginaires. Le nombre total de ces racines est donc
m — p — (i>, + 17'i) + p — q — {v, -f- v\) -f- . . . -f s — On -|- r'h) = ^» - (», H- r, + ... -f t?h) - (r\ -h »', -f ••• ■ h r'h) = m - (v -f y').
Mais l'équation F(#) = 0, ayant au plus /; |- v! racines réelles, a au moins m — {v -f- v') racines imaginaires. Le théorème est donc démontré.
154. Théorème des lacunes. — S'il manque un terme entre deux termes de même signe, ou s'il manque plus d'un terme entre deux termes de signes quelconques, V équation a nécessairement des racines imaginaires.
Soit l'équation
A^m -f- ... -|- Gxn l-2 -h Exn + ... =- 0,
G et II étant de même signe. L'équation Gx2 -\- II — 0 ayant deux racines imaginaires, l'équation proposée en a au moins deux (153;.
Soit encore l'équation
Aœ* -f ... + Gra?n+P + Ha;11 + ... = 0, où p > 2. (1)
Si p = 2q + h l'équation Gx? -j- H = 0 a une seule racine réelle et, par suite, 2q racines imaginaires; donc l'équation (1) a au moins 2q racines imaginaires. Si p -=2q, on voit, de la
(*) Une seule racine positive si ^ = 1, et \)i\s de racine positive si i>j =0.
même manière, que l'équation (1) a, au moins, 2q ou 2<i — 2 racines imaginaires, suivant que G et H sont de même signe ou de signes contraires.
155. Théorème de De Gua. — Quand une équation a toutes ses racines réettes, le carré d'un coefficient quelconque surpasse le produit des deux coefficients voisins.
Considérons quatre ternies consécutifs de l'équation h\x) = 0:
Ap^-p -|- Ap hl»»-P-1 + Ap.,2^-1'-2 + Ap | soiû-p-s. Trois termes consécutifs du produit F(x) (x — a) sont
— «An
%-m-v + Ap+2 — aAp+!
ajm-p-i + Api3
— .«Ap^2
Si l'on choisit a de manière à faire disparaître le terme en tfm-p— 1( les coefficients de •y111-1' et de xm~p~2 seront
A2P+1 — ApAp j^ A-, |2 — Ap.|-vAp-f.-j ^ Ap+i Ap.}-!
Toutes les racines de F(x) — 0 étant supposées réelles, les coefficients de xm~v et de xm~P-2 doivent être de signes contraires si le terme intermédiaire manque (154); il en résulte que les binômes
A2p-H — ApAp+2, A2p+9 — Ap-i iAp j 3 (1)
et tous ceux de la môme forme ont un signe commun. Or, les trois premiers termes du produit F(x) (x — a) sont
oom -j- A2
xm-
si l'on fait disparaître le terme en .vm, les coefficients voisins seront
Ao?
Ai A0A«
comme ils sont de signes contraires (on suppose A0 > 0), le binôme A? — A0A2est positif, et il en est de môme des binômes (1). On conclut de là
Aj > A0Ao, Ao > A^g, . ., Ap-j-i > ApAp|^>, ...
Remarque. — I*a réciproque du théorème de De Gua n'est pas exacte : l'équation du second degré
A0,Vl -f- Ai^ + A2 = 0 a des racines imaginaires si Aï > A0A2 et < 4A0A2.
156. Corollaires. — I. Si le carré d'un coefficient est égal ou inférieur nu produit des deux coefficients voisins, l'équation p des racines imaginaires.
En particulier, une équation a des racines imaginaires : i° si trois coefficients consécutifs sont en progression par quotient; 2° si deux coefficients égaux sont séparés par un coefficient ayant une valeur absolue égale ou inférieure.
IL Si quatre coefficients consécutifs Ap, Ap-f-j, Ap-f?, Ap-f-3 vérifient la relation
(Ap+iAp+2 — ApÀp+3)2 — 4(AP+i — ApAp.|-2)(AjVf2 — Ap+iÀp j 3) 1t. 0.
l'équation a des racines imaginaires.
Appliquons le corollaire précédent à l'équation ¥(x) (x — a) — 0, a désignant un nombre réel. Trois coefficients consécutifs étant
Ap+i — aAp, Ap-).? — aAp+i, A^ — «Ap [?,
l'équation a des racines imaginaires si le carré du coefficient moyen est égal au produit des deux autres, c'est-à-dire si l'équation
(Ap+2 — «Ap H)2 — (Ap i — aAp) (Ap+3 — «Ap+:)
est vérifiée par une valeur réelle de a. E11 exprimant cette condition on trouve le critérium énoncé ci-dessus.
La valeur de a peut être 1 ; on a alors
(Ap+t - Àp+'i)2 = (Ap+1 - Ap) (Ap+3 - Àp+.2). i2)
La relation (2) est vérifiée si
Ap+2 — Ap4 i = Ap+i — A? = Ap l-3 — Ap+2 ;
donc, une équation a des racines imaginaires si quatre coefficients consécutifs sont en progression arithmétique.
Exercices et notes.
1. Soient x\, x%, ... xm des nombres réels quelconques, et Sp la somme de leurs produits p à p. Démontrer (pie
Oî > Ol>, S} > 0^3, Of( > 02S4 , .... O^,, — j > Dffl-SOffl.
Conséquence du théorème de De Gua.
V. Le nombre des racines de Y \< :Q qui sont supérieures à un nombre donné a, no peut surpasser le nombre des variations de la suite
m étant le degré de F(#) ; quand il est moindre, la différence est paire.
Appliquer le théorème de Descartes à l'équation F(a \ y) = 0.
.">. Si toutes les racines de J?(x) = Q sont réelles, le nombre des racines comprises entre a ot b est égal à l'excès du nombre des variations de la suite
F (a), F!(â), F», .. , EW(a)
sur celui des variations de la suite
F(6), F'(ft), F"(ft), ..., F<™)(6).
Appliquer la proposition (149) aux équations F (a -j- y) = 0, F(è | - 7) = 0. 4. Le nombre des racines de F(*) = 0 qui sont comprises entre a et b, est
au plus égal au nombre des variations de l'équation F[ - , ) 0
ordonnée par rapport à y.
On cherche la transformée qui correspond à y = -. — » et L'on applique le théorème de Descartes.
5. Si cp(#) est une fonction entière au plus de degré m — 3, ou une fonction entière de degré m — 2 et commençant par un terme positif, l'équation ! x — a)m -{- 'f(jc) = 0a des racines imaginaires.
G. Pour obtenir un symptôme d'imaginarité, on exprime que deux termes consécutifs du produit T?(x) (x2-\-px -\-q) disparaissent et (pie les valeurs correspondantes de p, q vérifient la relation/)2 — 4q > 0. On retrouve ainsi le théorème (1 56, 2°).
Si le multiplicateur est x2 — 1, x2-\-2x -f- 1, x2 — x — 1, on voit que l'équation F(x) = 0 a des racines imaginaires quand quatre coefficients consécutifs sont
T. Si cinq coefficients consécutifs A, B, C, 1), E sont tels, que
