Puissances de i. — On a
i = \ — ï, ?2 = — 1, P = &i = — V — ï, i* = W«l; ensuite
,m = [f4)n = i? /.ni+i ^ ^ j-«+s = pt £411+3 ^ £3
Donc, /es puissances de i se reproduisent périodiquement de quatre en quatre.
22. Théorème. — La puissance me d'une imaginaire a pour module la puissance me c/« module et pour argument le produit de V argument par ni.
La règle de la multiplication (14) donne immédiatement
[r(cos 0 -}- i sin G)]m =- r^cos mH + i sin wO). Si /• = 1 , on a
(cos 0 -j- ' sin 6)m — cos mO -f- « sin w?8, égalité qui porte le nom de formule de Moiore.
23. Représentation géométrique des puissances d'une imaginaire. — Soit (fig. (j) OZj Je vecteur de l'imaginaire z = r(cos 0 -f- z sin 6).
Prenons sur OX le vecteur unitaire OZ0 et construisons successivement les triangles OZ^.,, OZ2Z3, ... directement semblables au triangle O7,0ZY. Les points
sont les alïixes des puissances
Les modules de ces puissances forment la progression géométrique
et les arguments sont les termes de la progression arithmétique
Los progressions Cl) et (2) définissent un système de loga
Fig- 9
rithmes ; donc si p et w désignent deux termes correspondants et a la base des logarithmes, on peut écrire
w - log-a P, P - aw. (3)
Mais w et p sont les coordonnées polaires de l'un quelconque des points Z0, ZM Z.,, Z3, ... et l'équation (3) représente une courbe appelée spirale logarithmique ou spirale équiangle. Donc la ligne polygonale Z^ZoZ^ . . est inscriptible à une spirale logarithmique.
La ligne brisée Z0Z1ZV,Z3 ... porte le nom de myosotis. Les angles Z^Z.,, ZjZ.Zg, ... sont égaux entre eux, et les côtés ZqZ^ ZjZ.,, Z.2Z,j, ... sont en progression géométrique.
Si r = 1, les af fixes des puissances successives de z sont les sommets d'une ligne brisée régulière ZoA^AçAg ...
24. Théorème. — Si dans un polynôme entier en x à coefficients réels, on remplace x successivement par deux imaginaires conjuguées, les résultats sont des imaginaires conjuguées.
Considérons d'abord un monôme A.\*m. On a
(ce -f bi)m = a^ 4- C1 am-ift/ — C2 a?~2è2 — C:' a^^bH + C4 f^-i^i . ..
= («m — c2 au-zb2 4- C4 a»-4^...) 4- bi;Cl a"1"1 — C3 a™~?b2...).
v m 'm / ' v. in ni /
Ce résultat est de la forme P -f Qbi, P et Q, désignant des polynômes qui ne renferment que des puissances paires de b. On en déduit en changeant b en — b :
(a — bi)™ = P — Qbi.
Par conséquent, si A désigne un nombre réel, les valeurs de
Axm, pour x = à ± bi\ sont imaginaires conjuguées (ou réelles et égales entre elles).
Considérons ensuite une fond ion entière à coefficients réels. Si l'on y remplace x successivement para | bi et par a — bi, chaque terme de la fonction donne deux imaginaires conjuguées; donc, etc.
Corollaire. Le théorème subsiste également pour le quotient de deux fonctions entières à coefficients réels.
Extraction des racines.
25. Théorème. — Tout nombre (autre que zéro) a m racines mes distinctes.
Soit z = r'(cos 0' 4" î sin 0') une racine me de l'imaginaire a =- r(cos 0 -f- i sin 8); nous devrons avoir zm = a ou (22)
/m(cos m$ -f- i sin w6') == rv'cos 0 -f- i sin 9). Cette égalité exige (8, Remarque;
r<m = rf mtf = e -f2fe,
À* étant un nombre entier quelconque; par suite
r' = rm 8 = — ■>
où rm désigne la racine mc arithmétique de r. On peut donc écrire
Vn'cose -Msin8)--=rW cos- ] -[-/sin r -1. (1)
mi- Cette formule donne pour \ a m valeurs distinctes, si l'on y
fait successivement
en effet, l'argument - prend les valeurs
8 •:. Bic 6 •** 8 2(/>* - 1 F
et deux quelconques des arcs (3) ayant une différence moindre que 2tt, ne peuvent avoir à la fois le même sinus et le même cosinus. Les autres valeurs de h sont de la forme mq | k\ k'
étant l'un des nombres (2) ; les valeurs correspondantes de 0' sont
