mq | k')n 0-1-^'tt
et par suite ne diffèrent des arcs (3j que d'un multiple de 2~, de
sorte qu'on retombe sur les valeurs précédentes de \ n.
Remarque. — Les affixes des m valeurs de la racine mc d'un nombre sont les sommets d'un polygone régulier de m cotés.
26. Racines mes de l'unité. — Pour obtenir les racines mes de l'unité, il suffit de faire r =■ 1, 0 = 0 dans la formule (1). L'expression de ces racines est donc
pk = cos 4- i sm »
où on fera k — 0, 1, 2, ... m — 1. On peut remarquer que pk = pK de sorte que les racines mes de l'unité sont
1, Pu PÎ, P?, • -, PÎ1-1.
Remarque. — Si a désigne l'une quelconque des racines /?ïes d'un nombre donné, réel on imaginaire, ces racines ont pour expression
a, apM apf, . ., aff'1,
où
P, = cos \- i sm —
27. Généralisation de la formule de Moivre. — La formule (1) du § 25 donne
/ a . ■ • \\l ° + 2kn 6 + 2h~
cos 0 -[- i sm 0)"' = cos — - — ■ h « sin — L- - •
En élevant cette égalité à la puissance p on obtient
p (cos 0 -f i sin 0)m = cos — (6 -f 2for) 4- i sin ^- (0 -f- 2>br;.
Applications de la formule de Moivre.
28. Problème. — Exprimer cos mO et sin mO en fonction de cos 6 et sin 0. #
On a la formule (22)
(cos o 4- i sin 0)m = cos m® -f i sin wô.
Développons le premier membre et égalons ensuite les parties
réelles et les coefficients de i dans les deux membres ; il vient
'ni (l'ii — \ ) Cosm6 = cosm6 -.. - — - cosm-20 sin2 6 -f...
sin m6 = ~ cos^O sin 6 - v - ^ —^ cos'"-3 6 sm38 + . .
29. Problème. — Exprimer cos,T10 et sinm0 en [onction des sinus et des cosinus des multiples de V angle h.
Posons
cos 0 | i sin 0 = w, cos 0 — i sin 0 = v\
nous aurons successivement
2 cos 0 = n -| v, 2/ sin 6 = u — r,
9.m eoSmf| = (ir. -\- V,m = îtm + Wlttm—1îî H 9 ltm-~V2 -f-...
m(m — 1) o2 , mwt?m-i + vm (i)
2m/m sinm0 = (a — t)m = ?^m — mu^~1v -j v— - - — 'wm~V
± — '— ' lDw2i>ffl-2 t mut?*-1 ± vra. (2)
1° 7?ï est pair. Il y aura un terme du milieu qu'on obtient en
faisant n = = -y dans le terme général CirJiitm-nuïl et qui est par
conséquent
m(in — 1). . f •— -f- 1
En réunissant les termes cquidistants des extrêmes, on obtient
2m cosmG = (um + vm) -f -- {itm~2 -f vm ~'2)uv — m ^ ~ (wm~4 H- î?»-4)w2î?2
+ ...+- ~Km W, - (3)
2m(— l)» sinmO = [un -\- vm) — (um- 2 -\- vm~2)itv -f ...
Mais on a
tcv = 1, wn — cos ?/0 -|- / sin ?iô, v11 = cos wO — / sin nQ;
par suite
Mn -f t?n = 2 cos »0 , itn —vn = 2 i sin nO, (5)
et les équations (3) et (4) se ramènent à
2m 1 cosm6 — cos m8 -f — cos(m •-- 2)0 -\ v— — - — ; cos(m — 4)0
1m(m— l)...f^ -f-lj
wi mlm 1 ^
(— l)-2m 1 sinmô = cos m0 ■- cos(m— 2)6 -|- — -- -----<cos [m — 4)0
1 1 • td
Ym\m— l)...fy + lj
2° 2ïî est impair. Les seconds membres des formules (1) et (2) renferment deux termes du milieu qu'on obtient en faisant
7i — — S — dans le ternie général et qui ont pour somme dans
l'égalité (1)
(u -{- v) (uv) 2 .
1 •* 2 Xeuberg. — Algèbre.
Réunissons encore les termes équidistants des extrêmes :
«1 tiilyyi 1 1
2mcosm0= (um-\-v™) \- ■ {um z+îJm-2)ww-[— y-g— (wm-44- vm-*)u*v'2
Vmsinm0=-?tm— rm (?tm-2— t?™— 2}M»-f- • -„ } (um~* — v™-*)
^Wllw-l)...- — g— m-l
... -f(-i) 2 isrri"""^""^ ("y) ' ;
d'où en tenant compte des relations (5) :
1T9 Tïliïïl 1 )
2m 1 eosin6 -=. cos mO -f- -- eos(m - 2)0 4- v cos (m — 4)6
w(tw — 1) ... — g —
... 4 cos 6,
( i) 2 2m-1sinm0 =sinm6 ~sin(m- 2)6 -f -.- - — ^ sin (m — 4)6
m- Yïl[m— 1) ..- —
...+'(— inr- -,— sine.
Exercices et notes,
