THEORIE DES RACINES EGALES

Préliminaires.

182. Théorème. — Si a est p fois racine de l'équation algébrique F(x) = 0, il est racine des équations

F'(ff) = 0, F'(a-)- 0, ..., F'1 l(x) 0,

avec les degrés de multiplicité

mais il n'est pus racine de F ''(x) = 0.

En effet, F(.v) = F(a + x — a)î d'où, par le théorème do Taylor,

Par hypothèse, F(x) est divisible par (x — ■ a)p sans l'être par („y — a)^1. Les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il en soit ainsi, sont évidemment

F(a) - 0, F'(a) - 0, F"(a) = 0, ..., Ffe-l>(aj = 0, F'^(a) *fi 0;

donc a est racine de chacune des équations (1).

Ces mêmes conditions établissent que a est {p — 1) fois racine de F'(.v), (p — 2) fois racine de F"(x), etc.; car a annule les (/? — 2) premières dérivées de F'(.v), les [p — 3) premières dérivées de F"(x)y etc.

On démontre le même théorème en dérivant l'identité

F(x) = (a? — «)Pcp (.r),

ce qui donne

F'(x) = p(a? — a)P 1<K#) -1- (a? — «;Pcp'(a;).

Comme tp(:v l n'est pas divisible par as — a, F'Lr) est divisible par ûv — a)P -1 sans l'être par (x — a)P. De même, ¥"(x) est divisible par (x — a)P— 2, etc.

183. Remarque. — Si a est q /bis racine de F'(x), o« z7 n'esf pas racine de F(x), oh iZ /'es£ (q -f- 1) /b/.s\

Il peut se faire que a ne soit pas racine de F(x). S'il est/; fois racine de F(dc), il est /; — 1 fois racine de F'(ac); dans ce cas /; — 1 = q, d'où p = r/ -f- 1

184. Théorème. — Le p/iis grand commun diviseur d'une fonction entière F(x) c/ de sa dérivée F'(x) es/ ég'a/ azi produit des facteurs premiers multiples de F(x), l'exposant de chacun d'eux étant diminué d'une unité.

Soit par exemple

F(a?) .-= (a? — a)P (.r - &)<J (se — n1'/

f(x) n'ayant que des facteurs premiers simples, différents de x — a? x — b, x — c. D'après le théorème (182), F'(x) est divisible par {x — aJP"1, (x — 6)q-1, {x - c)1"-1 sans l'être par (.x — a)P, (x — &)i, (a* — c)1'; de plus aucun facteur linéaire de f(x) ne divise F'(a). Donc le p. g. c. d. de F(x) et F'(a) est