RÉDUCTION D'UNE ÉQUATION QUI A DES RACINES ÉGALES

185. Pour reconnaître qu'une équation F(x) = 0 a des racines égales, il suffit de voir si F.x) et F'(x) ont un commun diviseur en x. On peut aller plus loin et ramener la résolution de F(ac) =' 0 à la résolution d'autres équations donnant, respectivement, les racines simples, les racines doubles, les racines triples, ..., de a proposée, abstraction faite des degrés de multiplicité de ces racines.

Pour fixer les idées, considérons une équation F(x) = 0 qui a des racines simples, des racines doubles, des racines triples et des racines quadruples. Soient XL le produit des facteurs linéaires simples de F(x], X2 le produit des facteurs doubles, X3 celui des facteurs triples, X4 celui des facteurs quadruples, chaque facteur étant pris une seule fois. Nous aurons

Fiœ) = X^XjjXj.

Par des divisions successives on peut obtenir le p. g. c. d. 1) entre F(x) et F'(x) ; d'après le théorème ci-dessus,

De même, on peut chercher le p. g. c. d. Dx entre D et sa dérivée : Dl = X3X}.

De même encore le p. g. c. d. D2 entre D1 et sa dérivée : Do — X4. On a ainsi le tableau suivant :

F(œ) = XjXiXjiXj, 1) = X0X3X'], D, == X3X5, D, =X4.

Divisons V[.\) par 1), D par D,, I), par D,; soient Q, Q,, Q2 les quotients. Nous aurons

Q: XiX.X.X,. Q, X,X,X4, Q, X,XM I), X4.

Divisons encore Q par Q,l% Ql par Q,, Q2 par I)2 ; il vient

X, , Xo , =r- = X;, , D2 = X..

Donc, la résolution de ¥(x) = 0 est ramenée à la résolution d'autres équations donnant les racines d'un même degré de multiplicité. Ces nouvelles équations s'obtiennent au moyen de simples divisions.

186. Application. - F(x) = x~ — 2.x *-aA | -.i:î | 2r2 — 1 - 0.

Le p. g. c d. de F{x) et V\x) est

Le p. g. c. d. de D et sa dérivée est

Dt =œ— 1.

Dl étant premier avec sa dérivée, l'équation n'a pas de racine d'un degré de multiplicité supérieur à 3; on voit même que l'équation T>1 = 0 donne la racine triple x = 1.

On a ensuite

F(:JC) D

j} ; - Q - s?4 -f .r3 — a? — 1, — = Qj == ** 1} Dj a- i .

^- = ^ + ^+l=Xr, ^-.^+1=X2, D1 = X3.

Conséquemment

187. Remarques. — I. Si une équation à coefficients commensurables admet une seule racine multiple de V ordre p, cette racine est commensurable.

Car de simples divisions servant à séparer X„ X2, ..., tous ces polynômes ont des coefficients commensurables. Mais, par hypothèse, Xp est du premier degré ; donc la racine multiple de l'ordre p est commensurable.

II. La méthode des racines égales donne des calculs longs et pénibles. Lorsque le degré de l'équation ne dépasse pas 5, la méthode des racines commensurables (Chap. VIII) suffit.

En effet, une équation du 3e degré peut avoir une racine simple et une racine double, ou une racine triple; dans les deux cas, la racine multiple est commensurable (Voir remarque I).

Une équation du 4e degré peut avoir une racine quadruple, deux racines simples et une racine double, une racine simple et une racine triple, ou deux racines doubles. Dans les trois premiers cas, la racine multiple est commensurable; dans le dernier cas, le premier membre de l'équation est un carré parfait.

Soit une équation du 5e degré. Si elle a deux racines doubles et une racine simple, celle-ci est commensurable; en l'écartant de l'équation, on obtient une équation du 4e degré dont le premier membre est carré parfait. Dans les autres cas, une racine multiple est unique de son degré de multiplicité et par suite commensurable. L'équation peut môme être résolue par des moyens élémentaires, excepté dans le cas où elle a une racine double et trois racines simples.

Emploi des polynômes homogènes. — Discriminant.

188. Théorème d'Euler. — Considérons la fonction de deux variables

V[.v, y) = A0a?™ -f kxx^~hj + A^m-2^2 -f- -... | \m x.xi/m-1 + A ,„#"».

On peut dériver F(a\ y) soit par rapport à la lettre x, soit par rapport à la lettre y ; soient F'x, F'y les résultats. Des égalités

F{x, y) = ÏAn^^yS F'x = 2(m — njAnœ^-'1-1^, F'y = 2nknx™J-ny*-1 ,

on déduit immédiatement l'identité

niF(x,y)=xF'x \ yF'y. (1)

F'x admet une dérivée par rapport à a- désignée par F'^x ou ou F^2, et une dérivée F" par rapport à y; F\ admet deux dérivées représentées par F" , F"'. On vérifie facilement que

xy *■ yx.

La relation (1) appliquée aux polynômes F'x, F'y donne

(m— 1)F' — œF" 9 -f- vF" , (m — ])P' = a-F" +yF"0. (2) 'a? x~ xy y yx ' #2

Si l'on élimine F'x et F'y entre les égalités (1) et (2), il vient

m(m — hF(at. y) = ^2F" t + 2#j/F" | y2F" .. (3)

Chacune des dérivées du second ordre, F*'j, F", F\. admet

x xy y

une dérivée par rapport à x et une dérivée par rapport à y, et

Ton a

(m-2)F,r = xF"\ -f */F'"2 , v #2 oc3 x-y

(w — 2)F" = a?F'" -fyF" 0, 1

On voit facilement que F^'yx = F^y, FJ^ = F™yï . Des égalités (3) et (4), on déduit

mhn^\)(m — 2)F(xiy)==xzF}U-\-ZxhjF]\ + 3o?y2F'" .+y8Fm,. (5)

En général,

... +pa>yP-'P^p 1+ypW.

Le second membre de cette formule, abstraction faite des dérivées qui y entrent, est le développement de (x -f- y)p.

189. Conditions pour qu'une équation homogène ait une racine multiple. — Soit a une racine multiple d'ordre p de l'équation

A0xm -f Alxm~l -f- ....+ Am = 0;

le premier membre sera égal à (x — ayf(x), f{x) étant une fonction entière qui n'admet pas le diviseur a: — a. Si l'on remplace

x par -et qu'on chasse les dénominateurs, on obtient l'identité

A0xm f- A^-'y -f- ... -f Am 1^/m-1 -f Amym = (x - ay)vf(x, y),

où f{x, y) n'est pas divisible par x — ay. Soit F(\\ y) le premier membre; F{x, 1) = 0 est alors l'équation proposée, et F(l, y) = 0 est la transformée aux inverses des racines (138). En dérivant l'égalité

F(x, y) = (x - ayYfipc, y) successivement par rapport à x et par rapport à y, on trouve

F' = p'œ — ^/jP-y'Çr, y) -f- (a? — ay)vf' ,

1^ = — ap[x - ay? - ]f(x, y) + (a? — ay)*f.

On voit que F'x et F'y so/i/ divisibles par (x — ay)p 1 .sa/ïs Vêtre par une puissance supérieure de x — ay.

Réciproquement, si les polynômes F'x e£ F'y sont divisibles par (x — ay)p 1, san.s qu'ils soient divisibles par (x — ay)p, la plus haute puissance de x — ay qui divise F(x, y) est (x — ay)". En effet : 1° l'égalité

mFLv, y) --- - œF' -\- ?/F' v x ' y

montre que F(a\ y) admet le diviseur (x — ay)P-1 ; 2° si une puissance supérieure (x — ay)P+q divisait F(x, y), F'x et F'y seraient divisibles par (x — ay)p+fl1, ce qui est contraire à l'hypothèse; 3° quand un diviseur x — ay de F'x divise aussi F'y, il est diviseur avec un même degré de multiplicité de F'x et de F'y; car si F(x,y) est divisible par (x — ay)q, F'x et F'y le sont par (x — ay)**-1.

F'x et F'y étant divisibles par la même puissance (x — ay)v~l, leurs dérivées F^, FJ[ ., F"? sont divisibles par la même puissance (x — ay)P~2 sans que l'une le soit par (x — ay)v~l.

Réciproquement, si les trois dérivées du second ordre de F(x, y) sont divisibles par x — ay, elles admettent ce diviseur avec un même ordre de multiplicité et F(a\ y) l'admet avec cet ordre augmenté de deux unités. En effet, si Fj[j est divisible par (x — ay)P- 2, la dérivée F^ l'est également, puisqu'on suppose F'^2 et F£y divisibles à la fois par x — ay ; de plus, F'x admet le diviseur (x — ay)P-1. De même, F" et F'i étant divisibles par x — ay, la première de ces fonctions l'étant même par (x — ayip- - , la seconde l'est aussi par (x — ay)p~2, et F'y admet le diviseur

— IW —

!.v ay)p '. Donc, d'après ce que l'on a déjà vu, Fi.v, y) esl dix isible par (x — ay)v.

En continuant ce raisonnement, on arrive au théorème suivant :

Les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un polynôme homogène F(x, y) soit divisible par (x — ay)p, sont que toutes tes dérivées du (p — 1)° ordre,

t?(p-i) t^p-11 pi-^ î?(p-^ t^p-1'

soient divisibles par x — ay 'sans que Vune d'elles le soit par une puissance supérieure de x — ay.

Xous faisons observer que, si toutes les dérivées d'un même ordre de F(x, y) sont divisibles par x — ay, et si Tune d'elles l'est par (x — ay)*, toutes les autres sont aussi divisibles par (.v - ay)*.

190. Remarque. — Pour exprimer qu'une équation à coefficients indéterminés

F(oc, y) = A0.r™ + kxx™-ly -f ... -f- Am,vm = 0,

a une racine multiple d'ordre p (*), on applique le procédé du

plus grand commun diviseur aux polynômes F,£P-i , F^i>-2?/

jusqu'à ce qu'on arrive à un diviseur Mx -f- Xy du premier

degré et à on reste Rya. Une première condition est K = 0, et

Ny la racine multiple d'ordre 7) est x = --*'- ; on exprime encore

que cette racine annule les autres dérivées d'ordre p — 1 de F(x, y).

191. Discriminant. — Pour exprimer qu'une équation homogène à coefficients indéterminés, F(.v, y) = 0, a une racine double, il suffit d'égaler à zéro !e résultant des polynômes F'x, F'y. Ce résultant se nomme le discriminant de Fi.v, y).