INTRODUCTION

1 . On appelle variable toute quantité qui, dans une même ^ question d'analyse, peut prendre un nombre indéfini de r valeurs différentes. Une constante est une quantité qui, dans

une même question, conserve une valeur fixe et déterminée.

Les variables sont ordinairement désignées par les dernières lettres jc, y, ... de l'alphabet, et les constantes par les premières lettres a, b„.

Il est souvent commode de recourir à la représentation géométrique suivante des nombres : Après avoir marqué sur un axe (indéfini) X' X une origine O et une unité de

Fig. 1.

longueur O 1, on convient de représenter un nombre positif a

par le point A de O X dont Y abscisse O A a pour mesure û,

et le nombre négatif (— a) par le point A' de OX' dont

V abscisse OA' a pour mesure a.

On dit qu'un nombre c appartient à Vintervalle (a, b)

lorsque

a tt b sont les bornes ou les extrémités de l'intervalle.

Si A, B, C sont les points représentatifs des nombres a, ô, c, C appartient nécessairement au segment A B. -

2. On dit qu'une variable y est fonction d'une autre variable jc, lorsqu'à toute valeur de x correspond une valeur déterminée de y.

On représente une fonction de x qu'on ne veut pas spécifier, par une notation telle que F (x), / (jc), (p (jc), ... ; la valeur que prend cette fonction pour une valeur donnée JC = a, est alors désignée respectivement par F(a),/(a), 9? (a),...

Neuberg. - Algèbre. 1

Une fonction de x est dite explicite lorsqu'elle est exprimée au moyen de x par des signes connus, indiquant les opérations à faire sur une valeur donnée de x pour en tirer celle de la fonction ; telles sont les fonctions 3 + 2jc — Sjc^, log (5 x^ — 3), ... Quand il n'en est pas ainsi, la fonction est dite implicite] ainsi, étant donnée l'équation

f — Ay + x^ — 2x ^ 0,

y est une fonction implicite de x.

On obtient une représentation géométrique d'une fonction y -- f{x) en construisant la courbe dont les points ont pour abscisse et ordonnée un système de valeurs de x et j satisfaisant à la relation y = /{x).

3. On appelle fonction entière de x toute expression de la forme

/\q X + Al X 4" ." "F Am — 1 X + Am,

les exposants de x étant des nombres entiers positifs, et les coefficients Aq, A^, ... A m des constantes quelconques.

Le quotient de deux fonctions entières de x est une fonction nommée fraction rationnelle.

Une fonction irrationnelle de x est une expression qui renferme un ou plusieurs radicaux portant sur des fonctions de x; telles sont les expressions

\f^ y/ax + b

Il est sousentendu que les indices des radicaux ne dépendent pas de x.

Plus généralement, y est une fonction algébrique de x lorsque la dépendance entre ces variables peut être exprimée par une équation de la forme

AoJ"» I Aij;'"-' ( ... f Am-iJ + A„ ^ 0,

où les coefficients Ao, Ai, ... , Am-i, Am sont des fonctions entières de x. Les fonctions entières de x, les fractions rationnelles et les fonctions irrationnelles de x sont des fonctions algébriques.

Les fonctions non algébriques sont appelées /f?/ïrf^//s transcendantes. Les plus simples sont la fonction exponentielle û^,

là fonction logarithmique log jc, les fonctions trigonométriques (circulaires) directes sin ;:, cos x, tg x, cotg x, séc x, coséc x^ et les fonctions trigonométriques inverses ou fonctions cyclométriques arc sin jc, arc cos jc, etc.

4. Si une variable u dépend de plusieurs autres jc, y,... de telle sorte, qu'à tout système de valeurs de celles-ci corresponde une valeur bien déterminée de u^ on dit que u est une fonction de x, j,.... Par exemple, le volume d'un cylindre droit est une fonction du rayon de la base et de la hauteur.

Une fonction des variables jc, j;,... se désigne souvent par Tune des notations F (x, j,...), / (;:, j,...), (p (jc, j,...), et la valeur de la fonction qui correspond aux valeurs données JC = a, j = ô,... s'indique par F (a, 6,...), /(a, 6....),...

On obtient une représentation géométrique d'une fonctiôu z=/(jc,j) de deux variables en considérant Jc,j, z comme les coordonnées d'un point rapporté à trois axes.

Les variables qui entrent dans une même question, dépendent toujours les unes des autres. Celles dont les valeurs sont regardées comme arbitraires, ont reçu le nom de variables indépendantes ; les autres, dont les valeurs sont déterminées par celles des premières, sont des fonctions de celles-ci et sont aussi appelées variables dépendantes. Ainsi, si l'on donne deux équations entre trois variables jc, y et z, on peut choisir z comme variable indépendante et regarder jc et j; comme des fonctions de 2.

Les épithètes : explicite, implicite, entière^ rationnelle^ irrationnelle^ algébrique, transcendante, se transportent facilement aux fonctions de plusieurs variables.

Exercices.

1. Représenter graphiquement la variation du périmètre ou de l'aire d'un cercle avec le rayon.