PRÉLIMINAIRES
5. Définitions. — On appelle expression imaginaire, quantité complexe ou, simplement, imaginaire y toute expression de
la forme a + | — /^-, dans laquelle le radical porte sur une quantité essentiellement négative ( - /^^). De telles expressions se sont présentées dans la résolutioîi des équations du second degré.
On convient (V étendre aux imaginaires les règles démontrées pour les quantités réelles. D'après cela, on écrit
et l'expression « + ] — P'^ est ramenée à la forme a + /^ } — 1.
Le symbole i~— f est souvent désigné par la lettre / et appelé Vunité imaginaire ; le type général d'une imaginaire est donc a + bi, a ei b étant des nombres positifs ou négatifs.
Si 6 = 0, on admet que a + bi se réduit à a ; par là, les quantités réelles sont renfermées comme cas particuliers dans les imaginaires.
Lorsque a = 0, on a Vimaginaire pure bi.
On appelle imaginaires conjuguées deux imaginaires a + bi et fl — bi qui ne diffèrent que par le signe du coefficient de /.
On appelle module ou mieux valeur absolue d'une imaginaire la racine carrée de la somme des carrés de la partie réelle et du coefficient de /, cette racine étant prise positivement. Le carré du module a reçu le nom de norme.
Le module de û + bi est donc égal à + } fl^ + 62. on le représente par mod (a + bi) ou par ' a + bi . Par exemple :
Le module d'un nombre réel, positif ou négatif, est sa valeur absolue.
Le symétrique d'un nombre est ce nombre changé de signe. D'après cela, 6,7 et - 6,7, — 3 + 2/ et 3 — 2/ sont des nombres symétriques.
6. Imaginaires égales. - Deux expressions imaginaires sont dites égales quand les parties réelles sont égales entre elles ainsi que les coefficients de /; autrement dit, l'égalité
a + bi= a! -\- bH
implique les deux égalités a = a\ b = b\ En particulier, l'égalité a + bi = exige a = 0, 6 = 0.
7. Théorème. — Pour qu'une imaginaire soit nulle, il faut et il suffit que son module soit nul.
En effet, Tégalité a + bi = suppose a = 0, b = 0; donc ffl2 -Ç^2 ^ 0. Réciproquement, si a'^ + b^ = 0, on a fl = 0, 6 = 0.
8. Torme trigonométrique des imaginaires. — Toute imaginaire a + bi est réductible à la forme r (cos o + i sin o).
Car réquation
a ^ bi = r (cos ^ + i sin 0) se décompose en deux autres (6) :
û = r cos 0, b = r sin o, (1)
d'où Ton tire
On convient de prendre positivement le radical, r est donc le module de l'imaginaire.
L'égalité tg o = donne pour o deux valeurs comprises entre et 27i, mais les égalités (1) montrent que cos o a le signe de a et sin o celui de 6, et ces signes déterminent le quadrant auquel appartient 0. Soit ro l'arc unique compris entre et 2jt et répondant aux formules (1) ; on pourra poser i) = O) + 2n jt, n étant un nombre entier quelconque, positif, négatif ou nul.
L'arc est appelé l'argument, Vamplitude ou la phase de l'imaginaire a + bi] il n'est déterminé qu'à un multiple de 271 près.
Remarque. Si deux imaginaires sont égales, leurs modules sont égaux et leurs arguments diffèrent d'un multiple de 2n,
