Application au troisième degré. — Soit

V = Jt* + /7X -[- ^.

Nous aurons

V, = 3x2 ^ p^ V2 - — 2px — 3^, V3 = — \p>' — 21q\ Les conditions énoncées sont

- /; > 0, \p^ I 27^2 <^ ; elles se réduisent à

207. Cas des racines multiples. — Soit X ^ une équation ayant des racines égales ; soit X^ la dérivée de X. Appliquons le procédé dn p. g. c. d. à X et Xi, en ayant soin de changer le signe de chaque reste avant de le prendre comme diviseur de la division suivante. Appelons X., X^, ..., Xr les restes ainsi modifiés. Comme l'équation X = a des racines égales.

X et X, ont un p. g. c. d., égal au produit des facteurs premiers multiples de X, chaque exposant étant diminué d'une unité ; ce p. g. c. d. est ici Xf. On a donc des identités

X = XiQi — X2, Xi = X2Q2 — X3,

Xn, - XjiQn — Xn-fl,

Xr j = Xr iQr i — X Xr-i =^ XfQr.

Les fonctions X, Xi, X., ...., Xr sont divisibles par Xr ; posons

— - V — * = V, ^^ = Vr , ^ =. V = 1

V a les mêmes racines que X, avec cette différence que les racines multiples de X sont racines simples de V.

La suite

V, V„ V,,..., V,., Vr (A)

jouit des mêmes propriétés que la suite de Sturm. En effet, ces fonctions sont continues et la dernière a un signe invariable; une valeur de x qui annule Vn donne à Vn i et Vn-hi des signes contraires, car de Xn, -- X^ Qn — Xn+i on

déduit Vn i = Vn Qn — Vn+1 ) cnfiu, le rapport r^> égal à

^-1 passe du négatif au positif lorsque x passe par une

racine de V = (193).

Il résulte de là que si, dans la suite (A), on remplace x successivement par a et par /î, le nombre des variations que perd cette suite est égal au nombre des racines de V, comprises entre a et /î ou à celui des racines de X, comprises dans le même intervalle, abstraction faite de leur degré de multiplicité.

Il est inutile de calculer les fonctions V, V,, V^,.. ; les substitutions x = a, x = p peuvent se faire dans les fonctions

qui ne diffèrent des premières que par un même facteur X^.

Théorème de Budan (*)

208. Théorème. — Etant donnée une équation algébrique entière F (x) ■-= 0, de degré m, le nombre des racines réelles de cette équation, comptées avec leur degré de multiplicité, qui sont comprises entre a et fi > a, est égal, ou inférieur d'un nombre pair, au nombre des variations que perd la suite

F(x), P(x), P'(x),..., Fc-)(x), (1)

lorsqu'on y fait consécutivement x = a, x = fi.

Quand x croît d'une manière continue de a k fi^ la suite des signes des fonctions (1) ne peut éprouver de modification qu'à l'instant où x atteint et dépasse une valeur annulant quelqu'une de ces fonctions.

Considérons d'abord une racine a, d'ordre /?, de F(x). On a vu (183) que la suite

F(x), F'(x),..., pp-»)(x), F^p^x) (2)

présente p variations pour x - a — h et n'offre que des permanences pour x = a f A, A désignant un nombre positif aussi petit qu'on veut; donc elle perd p variations, quand x passe, en croissant, par une racine d'ordre p de F(x). Soit maintenant b une racine, d'ordre q, de F^"Hx). D'après la remarque précédente, la suite

perd q variations, lorsque x passe, en croissant, par la valeur b. Par conséquent, lors même que l'intervalle de F^"-^Xx) à F^"^(x) acquerrait une variation, la suite

p(n - r.(x) ^ pn) (X), F(»+»)(X), ... , P"+*Ï>(X)

ne peut gagner aucune variation, quand x passe, en croissant, par une racine d'ordre q de F^"^(a:) -- 0.

(*) Budan communiqua à l'Académie des Sciences l'énoncé de son théorème dès 1803 et la démonstration complète en 1811. Fourier ayant donné de ce théorème une nouvelle démonstration plus claire, on lui a souvent attribué, par erreur, la proposition elle-même. La démonstration de Fourier présente une entière analogie avec celle que Sturm a donnée de son théorème.

Nous suivons ici une Note que M. Fouret a publiée dans les NouveUes Annales de Mathématiques, 1892, p. 82.

Cela posé, soient /Za, np les nombres de variations que présente la suite (1) pour x -= a et pour x = fi. Lorsque x croissant d'une manière continue de a k ^ passe par une racine de F(x), la suite (1) perd autant de variations qu'il y a d'unités dans Tordre de multiplicité de la racine; lorsque X passe par une valeur annulant une fonction intermédiaire, la suite (1) ne gagne aucune variation. 11 résulte de là que la différence ria — ^fi est au moins égale au nombre N des racines de F(x) comprises entre a et ^, chaque racine étant comptée avec son degré de multiplicité.

Si N est impair, F(a) et FO?) sont de signes contraires (129) ; F^^Xx) étant une constante, les nombres ria, np sont de parités différentes ; donc ria — n^ — N est un nombre pair. Semblablement, si N est pair, F(a) et F(/î) ayant le même signe, ria et n^ sont de même parité ; donc ria — np — N est encore pair.

209. Remarques. — 1. On peut arrêter la suite (1) à une dérivée qui ne change pas de signe dans Tintervalle (a, p),

II. Si le nombre substitué a (ou /?) annule une ou plusieurs fonctions intermédiaires de la suite (1), on prend pour ria (ou np) le nombre des variations que présente la suite pour x = a (ou ^), abstraction faite des fonctions qui s'annulent.

En effet, si a et ^ ne sont pas racines de f{x), on peut, pour appliquer le théorème de Budan, substituer a + A et /î + A à Jf dans la suite (1), pourvu que h désigne un nombre positif suffisamment petit. Les fonctions qui ne sont pas nulles pour x a ont le même signe pour x = a -[- A que pour x - a. Supposons que a annule les fonctions consécutives F^"'(x), F'"^^'(x), ..., F'"^*i-*^(x) ; alors la suite

présente, pour jt - a 4- A^ autant de variations que la suite P"- ï>(a), ... F("+<iX«); car les quantités F^") (a + h\ F^"+iXa + A), ... , F(nfq)(a |. /j) ont un même signe (193). Le raisonnement est le même quand [i annule plusieurs dérivées de F {x),

III. Le nombre des racines de f(x), supérieures à un nombre donné a, est égal, ou inférieur d'un nombre pair, au nombre ria des variations de la suite

En effet, le nombre de ces racines est égal, ou inférieur d'un nombre pair, à la différence na — ^ r^] rnais n ^= 0,etc.

Si a = 0, on retrouve le théorème de Descartes; car la suite

F(0), 'F(O), F'XO), ..., F(«^(0)

reproduit les coefficients de F(x) à des facteurs positifs près.

Inversement, du théorème de Descartes on peut conclure le cas particulier du théorème de Budan que nous venons de traiter. Car les racines de F(x), supérieures à a, sont les valeurs positives de x qui vérifient Téquation

F{a + x) = F(a)+ xFia) 4^ F» + ... + ^ F(™Xa) - 0.

210. Cas où toutes les racines sont réelles. — Quand une équation f{x) -= Q a toutes ses racines réelles, le nombre de ces racines, comprises entre a et /9, est égal à la différence des nombres de variations que présente la suite

quand on y substitue consécutivement a et /î.

En effet, soient N le nombre des racines supérieures à a, N' celui des racines inférieures à a ; le théorème de Budan donne

N ^ //a — /z ^^ N' ^n ^-na^

ou simplement

N</Za N'<^ — ^a d'0ÙN + N'</W-

Par hypothèse, N -j- N' = /n ; donc le signe <^ est exclu des relations précédentes, et N =- /Zq N' = /w — na.

De même, le nombre des racines supérieures à /? est égal à /z^. Donc celui des racines comprises entre a ti ^ est égal

2i fia— n^^

Remarque. — Soient M, N, P les nombres des racines de F(x), appartenant respectivement aux intervalles ( — co, a), (a, /^), 0^, oo). On a

M^/ï^— /Za, P^n fi — n

d'où, en additionnant,

M + P^/n— (/Za — /z/î).

Supposons que la suite de Budan perde N + 2K variations dans lepassagedejc-=aàA:=/î, de sorte que/Za-^/î^N+2K; la relation précédente devient

M + P ^ /n — N — 2K, ou /n — (M + N + P) > 2K.

Mais m — (M + N + P) est le nombre des racines imaginaires de F(x). On a donc le théorème suivant : Si une équation F(x) = a N racines comprises entre a et fi, et que la suite de Budan perde N f 2K variations dans le passage de x = a k x = fi, réquation a au moins 2K racines imaginaires.

Exercices et notes.

I. Soit V, Vi, ..., Vr une suite de fonctions jouissant des propriétés suivantes: \o Elles sont continues dans l'intervalle («, fi) et la dernière ne change pas de signe (elle peut passer par zéro en gardant son signe); 2o Une valeur de .t qui annule une fonction intermédiaire Vn , donne aux fonctions voisines Vn-i, Vn-fi des signes contraires (sans les annuler).

Dans ces hypothèses, le nombre des racines réelles de V = 0, comprises entre a et fi^ est au moins égal à celui des variations que gagne ou perd la suite V, Vi , ... , Vr dans le passage de a? = aàjc = /?.

En effet, si x varie d'une manière continue, depuis x = a jusqu'à x = P, le nombre des variations de la suite (V) ne pourra être modifié qu'à l'instant où x atteindra et dépassera une valeur qui annulera V. Si le

rapport -X-, en s'annulant dans l'intervalle (a, fi), passe X fois du n^tif

au positif, ju fois du positif au négatif et conserve v fois son signe, la

suite (V) gagne X fois une variation et en perd ju fois une, etc.

Corollaires. - I. Dans l'application du théorème de Sturm à la suite V, Vi, Vî, ..., Vr, oii Vi est la dérivée de V, - V2 le reste de la division de V par V 1 , etc., le nombre des variations perdues par une