Exemple. - Soit Téquation V = x' — 2x^ + x — l

Le théorème de Descartes indique une ou trois racines positives ; celui de Sturm donne une indication plus précise.

Voici le tableau des calculs:

4x-^ — 4x + 1 - Vi

-V, =^ Ainsi :

On a ensuite :

Pour X - 0, la suite a deux variations ; pour x = oo, une variation. Comme une variation se perd, l'équation a une seule racine positive.

(•) On multiplie par 4.

(••) On multiplie par 232.

205. Conditions de réalité des racines. — Le nombre des racines réelles de V est égal au nombre de variations que perd la suite du Sturm quand on y remplace x successivement par — oo et par + oo.

Cherchons les conditions nécessaires pour que toutes les racines soient réelles. Si V est de degré /w, V, est de degré m — 1 et le nombre des fonctions de Sturm est au plus égal à m -\ l. Le nombre des variations de la suite de Sturm pour jc - — oo est donc plus égal à m. On en conclut que la suite doit être complète et que les coefficients des premiers termes des fonctions doivent être positifs. En effet, les fonctions ont, pour x ^ j: c», le signe du premier terme et les degrés des premiers termes sont alternativement pairs et impairs ; par conséquent, si les conditions indiquées sont remplies, la suite ne présente que des variations pour jf == — oo et n'offre que des permanences pour x = + oo.

Comme les premiers termes de V et Vi ont le même signe, le nombre des conditions est au plus égal à /w — 1 ; il est inférieur à /tz — 1 si les conditions rentrent les unes dans les autres.