Définition. — Une équation est dite réciproque lorsque

admettant une racine a, elle admet aussi la racine —

Exemple. - L'équation

(X - 3) /x -ij (X + 2) U + l\ (X - 1) = 0,

admet les racines 3, ^ , — 2 , — y , 1 ; les inverses de ces

nombres reproduisent les racines. Donc Téquation est réciproque.

Les racines d'une équation réciproque vont par couples,

tels que a et -, fi ti ^, ...; toutefois, les racines x = 1,

X = — 1 sont leurs propres inverses.

Soit F(x) ^ une équation réciproque. La transformée en

- admettant les mêmes racines, les coefficients des polynômes

entiers F(x) et x""? j - J sont proportionnels. Cette remarque

permet de trouver la forme particulière des équations réciproques.

213. Forme générale des équations réciproques. — L Considérons d'abord une équation de degré pair, par exemple

F(x) =x^+ Ax" + Bx^ + Ot^ + Dx^ + Ex + O = 0. (1) La transformée en - est

si l'on chasse les dénominateurs et qu'on divise par Q, il vient

Les équations (1) et (2) ayant les mêmes racines, on a

La dernière relation donne O* = 1, Q = ± 1 ; les autres se réduisent à

Suivant que Tort adopte les signes supérieurs ou les signes inférieurs, Téquatiôn (1) prend l'une ou l'autre forme

x^ + Ax^ + Bx^ + O' + Bx2 + Ax -f- 1 = 0, (3) x6 + Ax^ + Ba^ — Bx« — Ax — 1 --0. (4)

Donc, une équation de degré pair est réciproque^ si les coefficients des termes équidistants des extrêmes sont égaux et de même signe, ou égaux et de signes contraires ; dans le second cas, il h! y a pas de terme du milieu.

Ce caractère est encore applicable lorsque le coefficient du premier terme de l'équation est différent de l'unité,

La première des formes trouvées est h forme normale des équations réciproques; toutes les équations réciproques s'y ramènent

Pour réduire l'équation (4) à la forme normale, on réunit les termes équidistants des extrêmes :

(x« — 1) + Ax(x* — 1) H Bx^x* — 1) = ;

supprimant le facteur x* — 1, on trouve

X* + X* + 1 + Ax(x2 + 1) 4. Bx« = 0, ou x^ + Ax« + (1 + B) x« + Ax + 1 =- 0.

II. Considérons ensuite une équation réciproque de degré impair, par exemple

x^ + Ax^ +Bx8 + Cx« + Dx + E = 0.

La transformée en - devient, après multiplication par x*' et division par E,

Identifiant les deux équations, nous aurons

La dernière donne E =: i 1 ; les autres se réduisent à D = ± A, C - ± B. Donc, l'équation proposée à l'une des formes

x^ + Ax* + Bx» + Bx« + Ax + 1 = 0, (5)

jc^ + Ajf* + Bx» — Bx' — Ax — 1 = 0. (6)

Ainsi, une équation de degré impair est réciproque^ si les œefficients des termes à égale distance des extrêmes sont égaux et de même signe, ou égaux et de signes contraires.

Les équations (5) et (6) peuvent être écrites ainsi :

X'- ±\ + Ax(x^ ±1) + Bx^x ± 1) = ; ou en écartant le facteur x db 1 :

A^ T X» + a:2 T X + 1 + AiX(X^ T JC + 1) +- Bx» = 0, ou x^ + (A T l)je + (B T A + l)^ + (A T l)x + 1 -- 0.

Donc les équations réciproques de degré impair se ramènent à la forme normale.

Abaissement de l'équation réciproque.