Soit une équation réciproque sous la forme normale

x^ + A,x^-' + AjX^-'^ .. + Ax° + ... + AjX + 1 = 0. (7)

Prenons pour inconnue auxiliaire la somme de deux racines réciproques:

le nombre des valeurs de z est la moitié de celui des valeurs de X. Par conséquent, la transformée en z sera du degré n ; on l'appelle la réduite ou la résolvante de l'équation (7).

Pour former la réduite, divisons l'équation (7) par x° et rapprochons les termes équidistants des extrêmes:

Si Ton fait

x^+-i. = Zp, (10)

l'équation (9) prend la forme

Z„ + k.Zj^r + A,Z„, + ... + An = 0. (11)

Pour calculer Zp en fonction de z, multiplions, membre à membre, les égalités (8) et (10) ; il vient

ou Zp4.i + Zp-1 = ZpZ;

donc Zp4.i = ZpZ — Zp i.

Ainsi, partant des valeurs initiales Zq = 2, Zj = e, on obtient les fonctions Z^, Z3 ... , par voie récurrente : chaque fonction est égale à la somme des deux précédentes^ respectivement multipliées par z et par — 1.

En appliquant cette règle, on trouve

Z2=Zie-Zo=^'^-2, Z3-Z2Z-Zi=z3-3e, Z,-^^-4^*+2...

Zp étant de degré p en ^, la réduite (1 1) est bien de degré n. Si on la sait résoudre, les valeurs de x résultent de