Théorème de Bezout. (Nemours 1730 - Oatinois

— Considérons un système de deux équations générales à deux inconnues :

MJ') = 0, g{x,y) = 0,

la première de degré /n, la seconde de degré n. Si on les ordonne par rapport à x, elle prennent la forme

f{x,y) = pox^ 4- pix^-' + p2X^-' + ... + Pm = 0, g(x, y) = q,x^ -\- qX-' + Ç^^""-" + ... + ^n = 0,

où le£ coefficients p t\ q représentent des fonctions de y dont le degré est égal à l'indice du coefficient

Soit x= a^ y -== b une solution du système. Si Ton remplace j; par 6, les équations /(x, 3;) -- 0,g{x,y) -- acquièrent une solution commune x a ; par suite le résultant doit être nul. Si donc on égale à zéro le résultant de f{x, y) et

(•) On sous entend ici que les a ou fi sont éliminés au moyen des valeurs des fonctions symétriques, et que l'on néglige le dénominateur amené par ces valeurs.

g{x,y) en laissant subsister la lettre y, l'équation ainsi obtenue est r équation finale en y. Le poids du résultant écrit avec les lettres Po, Pu ••• 9o; Qu •' est mn ; en remplaçant ces lettres par des fonctions de y d'un degré égal à l'indice, on obtient une fonction entière de y de degré mn.

On en conclut que deux équations à deux inœnnues admettent autant de solutions communes qu^U est marqué par le produit de leurs degrés, -

Cet énoncé suppose deux équations générales, écrites avec des coefficients indéterminés. Dans des cas particuliers, le nombre des solutions communes peut subir une réduction.

Remarqne. — Si l'on regarde x t\ y comme des coordonnées cartésiennes, les équations /x, y) = 0, g(x^ y) = ^ représenteront deux courbes des degrés m et /t, et leurs solutions détermineront les intersections des deux courbes. Du théorème de Bezout on conclut que deux courbes générales des degrés m et n ont mn points communs. Si le degré de l'équation finale en y^ dans un cas particulier, est mn — p, les deux courbes ont p points communs à l'infini et mn — p points communs à distance finie.

Exercices et notes.

^^^P»P»P»Pi ^^ "^P 05p5jp -|- oSp^sp -\- ÔS^j 054p.

2. Of b, ... f l étant les racines de F(x) = et q){x) désignant une fonction entière, trouver la somme

On peut écrire symboliquement V = <p (s), en remplaçant xP par Sp. En observant que

F(x) "x-fl^jc— 6"^ •• "^ x—r

et en effectuant les divisions indiquées, on peut identifier le reste de la première division, divisé par le diviseur F(x), avec la somme des restes des autres divisions, divisés par le diviseur correspondant, ce qui donne

R(^) (Pia) , cpib) , , (p(l)

F(x) x — ax — b *" 'x — /

ou R(jif) = 2(p(a)(x — b) ... (x — l).

Egalons les coefficients des plus hautes puissances dans les deux membres ; ce coefficient, dans le second membre, est égal à V, etc.