V -= - 21p\ 4 pîp* - 4/?; - \p\p, + I8p,p,p

283. Théorème. — (//z^ fonction rationnelle (Tune racine unique de V équation F(x) = 0, de degré m, peut toujours s^ exprimer par une fonction entière de cette racine dont le degré est au plus m — L

Soient a, b, ... / les racines de F(x), et considérons la fraction rationnelle

^ <Pia) En multipliant les deux termes par (p{b)(p{c) ... 9?(/) on a

y f(^^ ^{b)(p(c)..,(p(l) ^ -^^"^ ^ia)<p{b),..ip{l)'

Le dénominateur de la dernière fraction est une fonction

symétrique des racines de F(jc), et le numérateur est une

F(x) fonction symétrique des racines de — ^-^ ; les coefficients du

Neubero. - Algèbre. 18

quotient de F(x) par' a: — a sont des fonctions entières de a. Il résulte de là que j; se ramène à une fonction entière yf(a). Si xp(a) est d'un degré plus élevé que F (a) ou de même degré, divisons ip (a) par F (a) ; nous aurons

xp{a) = F(a). Q(a) + R(a) = R(fl),

puisque f(a) - 0. Le degré de R(a) est inférieur à celui de y)(a).

284. Elimination par les fonctions symétriques. — Pour que deux équations

f(x) = ^ + p.x"^'' + ... + Pn, = 0, g{x) = x° + qX'' + ... + ^n =

aient une racine commune, une certaine fonction R de leurs coefficients doit être nulle. R est le résultant ou Véliminant de/(x) t{g(x) (173).

Soient a,, Oj, ..., a^ les racines de la première équation ; Tune d'elles doit vérifier la seconde équation. Par suite le produit

gi^l)g{^2) ...^(«m) (1)

doit être nul. Ce produit étant une fonction symétrique des racines de /(x), on peut l'exprimer par les coefficients p,, Pz, ... Pja et l'on a ainsi R.

Par exemple, l'éliminant des équations

x' + PiX+p^ = 0, X' -]-q,x^ +q^x-^q^=0

s'obtient en effectuant le produit

(a? + q^a] + q^a^ + ^3) (aj + q^al + q^a^ + ^3) =aM+^i«î«2(ai + ag) + q.^a,a^(a\-^ aj) + q^{a\ +a?) + q\a\ai + q\a^a^ + q^q^a^a^ (a^ -[ a^) + ^i^gW+^D + q^qAf^i + «2) + ÇX

et en éliminant a^ et a^ au moyen des égalités

De même, si )8i, /S.^, . . . /?n sont les racines de g(x\ l'éliminant R se déduit du produit

M^)ÂPÙ .../ÎM (2)

en effectuant la multiplication et en substituant aux fonctions symétriques des racines p^^ p.j ... leurs expressions en ^1,^2, ... Comme on a

^x) = (X - A) ix - ^,) ... (X - )8,), /(x) = (x — a,) (X — a^) ... (X — aj,

les produits (1) et (2) se ramènent respectivement à

(«l-/îl) («1-/82) ... («l-iSJ {<h-Pl) ...(«m-M (3)

(A-«l) Oïl -«2)... 0*1 -«m) (/?2-ai) ... (yîn-am),

expressions qui ne peuvent différer que par le signe.

Tous les termes dû résultant ont le même poids mn, égal au produit des degrés des deux équations. En effet, si dans le résultant on remplace p„ p^, ... ^1, q^^ ... par — Sa^ -SaiO^, ...,

— 2fii, SPifizt '" on doit trouver le JDroduit (3). Or, chacun de ces coefficients renferme autant de facteurs a ou p qu'il est marqué par son indice ; d'autre part, si Ton effectue le produit (3), chaque terme est composé de mn facteurs a ou /5. Donc la somme des indices de chaque terme du résultant est égale à mn.

Remarque. — Si l'on écrit

f{x)=poX^ \ p,x^-' + ..., g(x) =^o^ + 9iX°-* + ...,

et que Ton considère le résultant sous la forme (1) ou (2) (*), on voit qu'il est une fonction homogène, de degré m, des coefficients de ^(jc), et une fonction homogène, de degré n, des coefficients de /(x).