LIMITES DES RACINES

Transfo*rmations élémentaires.

Transformer une équation F (x) -- 0, c'est en déduire une autre équation f(y) ^ dont les racines aient^ avec celles deF{x) '-^ 0, une relation donnée cT avance. L'équation /(j;) -est appelée la transformée de F(x) = 0.

132. Problème. ~ Changer les signes des racines de [équation F {x) ~ A,x"^ 4 AiX™"* + ... + k^^.x + A,„ - 0.

Si x désigne une racine quelconque de F (x) -- 0, et y la racine correspondante de la nouvelle équation, on doit avoir

Eliminant x entre ces égalités on trouve l'équation cherchée

Si l'on remplace la lettre y par x, on voit que cette équation s'obtient en changeant x tx\ — x dans l'équation proposée.

Remarque. — Si une équation n'a que des termes de degré pair, elle se confond avec sa transformée en — jc; donc ses racines sont, deux à deux, symétriques. On abaisse le degré d'une telle équation en prenant x' pour inconnue.

133. Problème. — Multiplier^ par un nombre k, les racines de ?{x) = 0.

Il faut éliminer x entre les équations y -- kx, F (x) — ; la transformée est donc f ( ,) - ou

Ky^ + KkjT-' 4- A,Ay"-"^ + ... 4- K-^k'^-'y + A„*"^ = 0.

Les coefficients de la transformée sont égaux à ceux de la proposée, multipliés par les puissances successives de k.

Exemple. — Soit à multiplier par 2 les racines de

3x* — 7jc^ + 8x — 9 = 0.

On trouve (en écrivant x au lieu de y) :

Remarques. — I. Pour résoudre le problème précédent, on peut s'appuyer sur la composition des coefficients (124). Si l'on multiplie les racines de F(x) par k, la somme des racines est multipliée par k, la sommé de leurs produits deux à deux par A*, etc. 11 faut donc remplacer A^ par yfeAi A., par k^k.^ etc.

II. Pour diviser les racines par *, on change x en ky ou plutôt en fcc, ce qui donne la transformée

134. Problème. — Transformer une équation en une autre dont les coefficients soient entiers, et dont le premier terme ait pour coefficient l unité.

Soit AoX™ + A,x»"-» + ... 4- A,„ ■-

l'équation débarrassée de ses dénominateurs. Si on multiplie les racines par Ao, on obtient la transformée (133)

i\.{)X -j- J\iJ\f)X -y- J\^J\(fX \ ... '1 Am/\o ^^^ U,

dont tous les coefficients sont divisibles par A,,.

Le problème admet souvent une solution plus simple. Exemple. Qx* — 27x» — |jc« — -^x + 2 - 0.

Multiplions les racines par k:

9x* — 21 kx» — -1 k^x^ — ^ yfe^x + 2k* = 0.

Divisons cette équation par 9 et exprimons que les coefficients

bk^ Ik' 2k^ 8.9' 12.9' . 9

se réduisent à des nombres entiers. La plus petite valeur de k est 12 : la transformée correspondante est

X* — 36x« — IOa:^ — 112x + 4608 = 0.

135. Problème. — Diminuer, (Tune quantité donnée h, les racines cTune équation F (x) ~ 0.

On doit avoir y = x — h, f {x) ; éliminant x on trouve la transformée F (A +/) -= 0, c'est-à-dire

F(A) + X F'{A) + ^ F" (h) + .- + ^ F^^'UA) = 0,

où la lettre x remplace y,

La méthode suivante, due à Horner (Zurich, 1774-1834) s'applique avec avantage aux équations numériques. On divise F (x) par x — A, le quotient par x — A, le second quotient par x — A et ainsi de suite. Ces opérations donnent les identités:

Qm-i ^ (:« — A) Q,n + Rm.

Eliminons Qi, Qg, . . Qm-i en ajoutant ces relations membre à membre après avoir multiplié la seconde par x — h, la troisième par (x — A)", etc. Nous aurons l'identité

F W - Ri + RAx -h) + RAx — hy -t- ... + Qm (X - hY\ En y remplaçant x — A par x, on obtient l'équation cherchée: Ri + R,x + R,x' + ... + Q„x"» ^ 0.

Ainsi : Pour diminuer de h toutes les racines d'une équation, on divise le premier membre par x — h, /^ quotient de cette division par x — h, le quotient de la seconde division par X — h ; et ainsi de suite. Le dernier quotient et les restes de ces divisions sont les coefficients de la transformée.

Cette règle est analogue à celle qui sert à faire passer un nombre entier d'un système de numération dans un autre.

Application. — Diminuer de 2 les racines de l'équation

5x* — 4jc8 + 8x' — 3jc + 7 = 0.

Les divisions successives de F (x) par x — 2 s'effectuent par le procédé rapide indiqué (116):

Coefficients de F (x) ... 5,

w vil "• ^;

n Mc2 *** ^f

n VJ4 ... 5

Transformée: 5x* + 36x* + 104x' + Hlx +81 - 0.

136. Problème. — Faire disparaître le deuxième terme dune équation

AoX™ + A^x™-^ + ... + k^^,x + A„, - 0, (1)

oti A, / 0. La nouvelle équation doit être de la forme

^^ + Be/""' + B,/"-' + ... + B„ = 0. (2)

La somme des racines de (2) étant nulle, il suffit de diminuer chacune des racines de (1) du m^ de leur somme ou de poser

- désignant la fraction irréductible égale à — ^- La transformation (3) peut se décomposer en d'autres plus simples :

x' - qx, x" - x' H^ A y

On obtient l'équation en x' en multipliant par q les racines de (1) ; on diminue ensuite de — /? les racines de la nouvelle équation; enfin, on divise par q les racines de la dernière équation. Mais les deux premières transformations suffisent.

Exemple. 3x* — Sjc^ — 6x + 4 = 0.

On diminue les racines du quart de leur somme, en posant

Il est même plus avantageux de poser j; — Sx — 2, ou d'effectuer les transformations

jc* = Sx, y = x' — 2.

L'équation en x' est (133)

3x'4 — 8.Sx'8 — 6.33x' + 4.3* - 0.

En la simplifiant par 3 et diminuant de 2 les racines, on trouve

137. Remarque. - On peut se proposer de faire disparaître un terme quelconque de Téquation F(x) -- 0. Si Ton diminue de h les racines, on a la transformée (135)

Pour faire disparaître le terme eny^, on pose F<p>(A) -= 0, ce qui donne une équation de degré m— p en A.

Le terme indépendant sera nul si F (h) -- ; h est alors une racine de Téquation proposée. Ce résultat s'explique facilement.

138. Problème. - Former r équation admettant pour racines les inverses des racines d'une équation donnée F (x) = 0.

11 faut éliminer x entre les équations y = -, F(x) = 0. La transformée est Ff-j - 0, ou en écrivant x pour y\

A(, -\- AjX -\- ... + Ana—iX -|- AmX = U.

Remarque. — Si la transformée se confond avec l'équation proposée, celle-ci est dite équation réciproque, A toute racine a

de F(x) = correspond alors une racine égale à —

139. Transformation homographique. — Les transformations précédentes rentrent dans la transformation homographique :

Axy -t- By + Cx -1 D 0, ou -V = - ^ ^^ g ' (1)

Par exemple, si A - 0, D = 0, on multiplie les racines de l'équation proposée par un nombre constant.

Tirons de la formule (1) x en fonction de y; en substituant la valeur on trouve que la transformée de F (x) = est

On peut présenter autrement le calcul de cette transformée. Rendons l'équation proposée homogène en remplaçant x

par^,:

AoJC" + AiX°^-*x' + ... f An,,;c;c'™-' + A^x'"^ = 0,

et désignons par —, la racine de la transformée ; la transformation homographique correspond à une substitution de la forme

X = ay '\- by\ x' = a!y ~\- by.

Limites des racines.

140. Définitions. — On dit qu'un nombre positif L est une limite supérieure des racines positives de Téquation à coefficients réels F(x) =- 0, si l'équation n'a pas de racine supérieure à L, sans que cela implique qu'il y ait une racine entre et L Supposons le premier terme de F (x) positif ; alors si Ton a F (x) > pour x ^ L, L est une limite supérieure, car il n'y aura pas de racine supérieure à L.

On dit qu'un nombre positif / est une limite inférieure des racines positives de l'équation F (x) - 0, si Ton sait qu'il n'y a pas de racine positive inférieure à /. Pour obtenir une telle limite, on peut chercher une limite supérieure L,

des racines positives de l'équation F f - j - et poser

Si l'équation a des racines négatives, on trouve deux nombres — L' et — /' entre lesquels elles sont comprises en cherchant une limite supérieure L' et une limite inférieure /' des racines positives de la transformée en — x.

Lorsqu'un polynôme à coefficients réels est ordonné suivant les exposants décroissants de jc, on appelle variation la succession de deux termes de signes contraires ; la variation est descendante ou ascendante suivant que le terme positif précède ou suit le terme négatif. La succession de deux termes de même signe a reçu le nom de permanence. Ainsi, le polynôme

3jc« + 2jc5 + Sjc» — Qjc'' - 20jc + 4

présente successivement deux permanences, une variation descendante, une permanence, une variation ascendante.

141. Méthode de Lagrange. — Quand le premier coefficient d!une équation est Vanité, une limite supérieure des racines est

N désignant la plus grande des valeurs absolues des coefficients négatifs, et p la différence entre le degré de V équation et celui du premier terme négatif.

Soit l'équation F (x) = x'" + k^x"^-' -f- ... + A„, = 0.

Si le premier terme négatif est en x"~p et si N est la plus grande valeur absolue des coefficients négatifs, on a pour toute valeur positive de x :

F(jc) > X™ — N(x"-P + x^"-p-^ -\ ... + 1); (1)

car on a augmenté la somme des termes négatifs, remplacé les termes positifs à partir de x™"*" par des termes négatifs et négligé les termes positifs compris entre x™ et x^^"^. L'inégalité (1) donne, si x > 1 :

Pour avoir F(x) > 0, il suffit que x vérifie la relation

x°^(x - 1) - Nx'^-P+ï > 0,

ou, en divisant par x™-p+\

et en remplaçant x^' par la quantité plus petite (x — 1)^*,

ce qui revient à

Remarques. - I. Mac-Laurin (Kilmoddan 1698-York 1746) avait indiqué la limite

on l'obtient en observant que pour toute valeur positive de x,

F(x) > jr^ - N (x^-^ + x"^-* + ... + 1),

ce qui est l'inégalité (1) oij l'on remplace /? par 1.

II. La limite 1 -|- V N est aussi une limite supérieure des racines de l'équation dérivée F (œ) = 0. Car si l'on applique la méthode de Lagrange

à l'équation — F' (a?) = 0, le nombre p ne change pas, et les coefficients ni

sont plus petits que les coefficients correspondants de F (x) ; on obtient donc une limite plus petite que 1 -|- yN.

142. Méthode par groupement des termes. — On obtient une limite supérieure des racines en déœmposant le premier membre de Véquation en plusieurs polynômes présentant chacun au plus une variation (descendante) et en cherchant un nombre qui rende tous ces polynômes positifs ou nuls. Cette méthode repose sur la proposition suivante : 5/ un polynôme f (x), présentant une seule variation descendante, est positif pour une valeur positive de x, // reste positif à partir de cette valeur,.

Soit le polynôme ordonné

f{x) =- Ax"^ + Bx"»-* + .. . + Qx° — (HxP + Ix^'-* + . .. ^- Mx*»). On peut écrire

1 vH— p ' • • • 1^

Posons

/(x) ^ Ax-° + ... + o, fÀx) = -5f- ^ - + ^

de sorte que/(x) = x°[/;(x)— /.(x)].

Si Ton fait croître x de à cc,/i(x) croît constamment et f{x) décroît; donc la différence /(x) —/.(x) croît toujours.

Or, cette différence commence par une valeur négative et finit par une valeur positive ; elle passe donc par zéro pour une certaine valeur x a, et reste positive pour toute valeur de x supérieure à a, La proposition est donc démontrée.

Exemple. Soit à chercher une limite supérieure des racines de

jc^ + x' — x=^ + X — 10000 = 0.

En groupant ainsi :

(x-' + jc^ — x«) + (jc — 10000),

et observant que le premier groupe est positif pour «^ 1, et le second pour x > 10000, on voit que 10000 est une limite des racines. Mais en écrivant

on obtient la limite \ 10000.

La méthode de Lagrange donne 1 + V 10000 ou 101.

Remarque. - On peut aussi employer des groupes ayant plus d'une variation, ainsi qu'on va le voir sur l'équation

X' — bx' + \lx^ — 23a; + 1 - 0.

Décomposons ITx^ en 10a;* + 7a;* et groupons ainsi :

jc*(jc- - 5x + 7) + jc(10x -23) + L

Le trinôme x* — 5jc + 7 dont les racines sont imaginaires, est constamment positif; le binôme IOjc — 23 est positif à partir de x -= 2, 3 ; une limite supérieure est donc 2, 3.

La méthode de Lagrange donne L = 24.

143. Méthode de Newton. — On obtient une limite supérieure des racines de C équation F(x) = en cherchant un nombre qui rende positives la fonction F(x) et ses dérivées.

En effet, f{a + A) = F(a) + hf\a) + ^^ F\a) + ... ;

donc, si les nombres F(fl), F'(fl), F"(a), ... sont positifs ainsi que A, on a aussi f{a f h) > 0, et aucun nombre supérieur à fl ne peut être racine. On aurait la même conclusion

si a annulait quelques dérivées de F(jc) et rendait positives les autres.

Voici comment on applique la méthode. La dernière dérivée, égale à m ! A,,, est positive. On cherche une valeur ûi de X rendant nulle ou positive la dérivée F<"-^>(;cj, qui est du premier degré. On examine ensuite si cette valeur rend nulle ou positive la dérivée f^^-'^^(x) ; si F^"-^) (^^^ < 0, on cherche une valeur a. supérieure à a^ rendant la dérivé F^'"~2>(jc) positive ou nulle. On subtitue a^ dans F("'-3)(it?) ; si le résultat est négatif, on remplace x par un nombre plus grand jusqu'à ce qu'on arrive à un résultat F<™-3>(fl3) ^ 0. On continue ainsi jusqu'à la fonction f(x) elle-même. Le dernier nombre subtitue est une limite supérieure des racines de ?{x).

Dans les essais, il est inutile de revenir sur les polynômes déjà examinés ; car si un nombre b rend positives ou nulles la dérivée d'ordre m — p ti celles d'ordre plus élevé, pour tout nombre supérieur à é, on a F^™-P>(ir) > 0.

Pour fl,, ûj, ... on prend ordinairement des nombres entiers.

Exemple. — F(x) -x^ + 7a^ — 12jc3— 58x2-f 52;c— 13,

F" (xS \ 2 ^ 10x^+42x2— 36x— 58,

F"'fx)

PV(x)

Or, FVï(O) > 0;

Donc 3 est une limite supérieure des racines de F(x).

Remarque. - Appelons, pour un moment, limite supérieure des racines d'une équation F(jc) ---- un nombre L tel, que l'équation n'ait pas de racine plus grande que L, et limite inférieure un nombre L' tel, que l'équation n'ait pas de racine plus petite que L'.

La règle de Newton pourra être énoncée et complétée ainsi :

Tout nombre qui substitué à x dans la suite

donne des résultats de même signe^ est une limite supérieure des racines de F(x); si les résultats sont alternativement positifs et négatifs, le nombre substitué est une limite inférieure.

En effet, si les nombres.

sont positifs, on a f(a-\-h)^ pour toute valeur positive de A, et l'équation n'a pas de racine plus grande qne a. Si ces nombres sont alternativement positifs et négatifs (ou négatifs et positifs), ?(a - A) a le signe de f(a) pour toute valeur positive de h, et l'équation F(x) -^ n'a pas de racine plus petite que a.

144. Méthode de Thibault. — Un nombre di est limite supérieure des racines de P équation F(x) - 0, si les coefficients et le reste de la division de F(x) par x — a sont positifs.

Soient B,„ Bj, ... Bm i, B^ ces coefficients et ce reste; alors

?(x) = (X - a) (Box™-^ + B,a:-« + ... + B«0 + B^.

Si tous les nombres B sont positifs, on a f(x) > pour toute valeur de x supérieure à a.

Remarque. — On connaît le procédé rapide pour calculer les nombres B (117) ; ce sont les valeurs des fonctions

r =^ Ao, Il = AqJ^ — |- Al, Tg — ^ A(,X'~ -|- JK^x — |- A2, etc.

pour X = a.

Tout nombre qui rend positives les fonctions F^, F,, ... Fp {p <^ m), est une limite supérieure des racines de l'équation Fp - 0; car Fo, Fi, ... Fp sont les fonctions de Laguerre de Fp.

145, Règle de Bret. - On obtient une limite supérieure des racines d'une équation algébrique F(x) ^^ en divisant chaque coefficient négatif pris positivement, par la somme des coefficients positifs qui le précèdent, et en ajoutant P unité à la plus grande des fractions ainsi obtenues.

Soit, pour fixer les idées, l'équation

A„;^+AiX^-'+A,a:™-'^— A3Ar'"-=*+...— ApX™-»'+...±A^^^ 0, (1)

les signes des ternies étant mis en évidence. Transformons chaque terme positif au moyen de la formule

en écrivant y au lieu de ^ - 1, nous obtenons

+A,> I -\-k,y +Aj

Si nous supposons j:' ^ 1, toutes les colonnes où il n'y a pas de terme négatif seront positives. Le terme en ^«n-3 sera positif si

3^(Ao+A, +A2)— A3>0 ou a; > celui en :rm-p l'est pour

Aq -|- Aj -\- A2

A,) -j" Aj -j- A.> — (- ...

le dénominateur étant égal à la somme des coefficients positifs qui précèdent Ap dans l'équation (1). On a donc F (x) > pour toutes les valeurs de x supérieures à la plus grande des quantités de la forme

Ao -\- Al -f- A2 -j~ '••

Exercices et notes.