Exprimer que la somme de deux racines de l'équation

X* -^ px^ + qx^ + rx ^ s =

est égale à la somme des deux autres [r -- jr(ç — V^J- Neuberq.- Algèbre. 8

S'appuyer sur les relations (124), ou identifier l'équation avec

24. Exprimer que la même équation a deux racines égales et de signes contraires.

25. En un point quelconque A de la courbe représentée par y =: x^ ^ on mène la tangente, qui coupe de nouveau la courbe en B. Lieu du milieu de la droite AB(Réponse:jf = 28^*3). Démontrer que l'axe des jf divise la corde AB dans un rapport constant. Lieu des milieux des cordes parallèles à la droite y=.mx (Réponse : y = 3/wjc - 8.i:-3 ).

26. D'un point donné P, on peut mener trois normales à une parabole; soient M, M', M" les points d'incidence. Le centre de gravité G du triangle MM'M" est sur l'axe de la parabole; si l'on prolonge PG de GH = 2PG, le point H est situé sur une droite fixe. Lorsque deux des normales sont rectangulaires, le lieu de P est une parabole. Le lieu

d'un point P tel que PM* + PM' + PM" = a2 , est une ellipse.

27. Décomposer en facteurs réels du second degré a^+ 1, a?6-f L

x^ + 1 = jc^ + 1 4- 2a:^ - 2a:*^ - (x^ + X|/2 + 1) (x* - aY2 + 1);

x« + 1 =- (x^ + 1) (x^ + 2jc2+ 1 — 3jc2)

Pour obtenir des décompositions rationnelles, on remplace x par

— I — ou — 1 — , ce qui donne

4x' + y* -- (2x2 -\-2xy + y^) {2x'' — 2xy + y^\ 27x« +y' -= (3x« +f^) (3x« + 3xy + y') (Sx^ — 3xy + y).

De la première formule, on conclut que tout nombre de la forme 4x^-\- 1 (en particulier 2^nH-2+ 1), excepté 5, est composé.