Etant donnée l'équation de degré pair
AoX^ AjX -^ A2X „. Am— iX — |— Am = U,
OÙ Ao) Al, A2;— ;Am sont des nombres positifs, soient H le plus grand des rapports
Apa— 1 ••• r « »
Ain 4
Al A3
Ao Ag
et h le plus petit des rapports
Ag A4
Ae
Al A3
L'équation aura toutes ses racines comprises entre H et A si H ]> h, et toutes ses racines imaginaires si H ^ h ou <^ h. 8. Soient m un nombre impair, et l'équation
A/rHi A /rm—i I A ^m—^ A
OÙ Au» Al, Ag, ... sont des nombres positifs. Soient H le plus grand et H' le plus petit des rapports
Al Ag A5 Am
Aq Ao A4 Am— 1
Soient h le plus petit des rapports
Ag A4 Am— 1
L'équation n'a aucune racine supérieure à H ou inférieure à H', et elle
ne peut en avoir qu'une seule inférieure â — • Si H - ou <^ — , elle
n'aura qu'une racine réelle.
9. Soit l'équation F (2;) = AoO;™ + ... — ApX"-»» ... = 0, les coefficients Ao, Ai,..., Ap-i étant positifs. Si N désigne la plus grande des valeurs absolues des coefficients négatifs, une limite supérieure des racines est
Ay -T" Al -|- ... -f- A
Il suffit d'observer que, pour jc ]> 1,
F (x) > (Ao + Al + ... + A^d^""-^' — ApX°»-p ....
et d'appliquer la régie de Mac-Laurin à la dernière fonction.
10. Soit l'équation où les tennes négatifs sont mis en évidence :
X"... — P x"-P ... — Qx«"-^ ... — Rx»"-^ ... =-- 0.
Si n est le nombre des termes négatifs, une limite supérieure des racines
positives est le plus grand des nombres V /^P, V ^Q, r /zR, ... (95)
On obtient aussi une limite supérieure en ajoutant les deux plus
grandes des quantités V P, V Qt r R» ...
11. Soit L uue limite supérieure des modules des racines de l'équation
on a
