THÉORÈME DE DESCARTES. O

RÈGLE DES SIGNES DE DeSCARTES.

!46. Lemme de Scgncrf*). — Soit F(x) un polynôme à œefficients réels, ordonné suivant les puissances décroissantes de X, et soit a un nombre positif quelconque: le produit F (x) (x — a) contient un nombre impair de variations de plus que F (x).

Pour mettre les variations de F {x) en évidence, nous représentons ce polynôme par

AniX™ ^ ... -t A„+iX"+i — A^x" ... — ApH-,xîH-i + ApXP ... t At+ix<+ï — Atx* ... — AsT* .

(•) Descartes, né à la Haye en Touraine en 1596, mort à Stockholm en 1650.

(••) Segner, né à Pressbourg en 1704, mort à Halle en 1777.

Le premier terme est positif ; — AnJc° est le premier terme négatif; ApX^ est le premier terme positif après — AnX°; et ainsi de suite. F (x) se termine par un groupe de termes que Ton suppose négatifs ; ce groupe commence par — At x< .

Auy An, Ap, ... At, A, désignent des nombres positifs ; An+i, Ap+i, ..., At^.l, As+i représentent des nombres positifs ou nuls.

Effectuant le produit F (x) (x — a) on trouve

AniX""' ... An

-ûAfrfi

xN-i...-At -ûAt+i

rt-fl

+ aA.x".

x»+i... + Ap

+ ûAp^.l

F (x) contient une seule variation entre les termes A^x**" et AnX°; la partie correspondante du produit F(x) (x — a) en contient au moins une, car elle commence par le terme positif AmX*°+^ et se termine par le terme négatif — (An 4 aAn+i)x"+^ De même F(x) a une seule variation entre les termes en x° et x^, tandis que F(x) (x — a) en a au moins une dans la partie allant de x"+' à x^K En continuant ainsi jusqu'au terme — Atx*, on trouve au moins autant de variations dans le produit F(x) (x — à) que dans le multiplicande. Mais à partir de x^ F(x) ne présente plus de variation, tandis que le produit en a au moins une entre x*+^ et x* ; cette conclusion subsiste aussi dans le cas où le dernier groupe de F(x) est remplacé par un seul terme — Atx*.

Il résulte de là que le produit F(x) (x — a) a au moins une variation de plus que F(x).

Le premier et le dernier terme de F(x) étant de signes contraires, F (x) a un nombre impair de variations ; ceux de F (x) (x — a) étant de même signe, ce produit a un nombre pair de variations. Donc le second polynôme présente un nombre impair de variations de plus que le premier.

Les raisonnements et les conclusions sont les mêmes lorsque le dernier groupe de F(x) est composé de termes positifs.

147. Règle des signes de Descartes. — Le nombre des racines positives dune équation algébrique à œefficients réels ne surpasse pas le nombre des variations de son premier membre ; quand il est moindre, la différence est paire.

Soient û„ Aj» - û,, toutes les racines positives, distinctes ou non, de l'équation F(x) = 0; on peut écrire

F(x) = (X — a,) (x — ûg) ... (X — flp)/(x), Neuberg. - Algèbre. 9

f{x) étant une constante ou une fonction entière qui n'admet pas de racine positive. Dans le premier cas, la proposition se vérifie immédiatement, le développement du- produit (x— fl,)... (x— ûp) ayant p variations. Dans le second cas, f(x) dont le premier terme peut être supposé positif se termine par un terme positif; sans quoi Téquation f(x)^Q aurait au moins une racine positive (127). Le nombre des variations de/(x) est donc nul ou pair; désignons-le par 2k. Si on multiplie f(x) par X — fli, il augmente d'un nombre impair 2A, -f- 1 » si on multiplie le résultat par x - ûg, il augmente de nouveau d'un nombre impair 2k^ -\- \\ et ainsi de suite. Donc le nombre des variations de f(x) est

Les nombres A, *i, . . . k^ étant positifs ou nuls, on a

h étant positif ou nul.

148. Corollaire. I. — Le nombre des racines négatives dune équation ne surpasse pas le nombre des variations de la transformée en ( — x) ; s^il est moindre, la différence est paire.

Car les racines négatives de f{x) = correspondent aux racines positives de la transformée, et inversement.

149. Corollaire II. — Quand une équation a toutes ses racines réelles, le nombre des racines positives est égal au nombre de ses variations, et celui des racines négatives est égal au nombre des variations de la transformée en ( — x).

Soient : m le degré de l'équation f{x) -= ; p le nombre des racines positives ; /i » » négatives;

V » des variations de f{x)\

V i> » de F(— x).

Observons d'abord que la somme v + v' nt surpasse pas le degré de l'équation. En effet, si le polynôme F(x) est complet, il renferme m \ \ termes ; par suite, le nombre des variations et celui des permanences de F(x) ont pour somme m. Mais le changement de x en — x transforme les variations en permanences et réciproquement; car de

deux termes consécutifs, un seul change de signe. Donc, si l'équation est complète, v + 1/ = m. D'un autre côté, si Ton supprime des termes de F(jc), vetv^ pourront bien diminuer, mais n'augmenteront pas. Donc

En vertu du théorème de Descartes,

p^v, n^V, d'où p + /z < V ^v' (2)

et à cause de (1), /? + /î ^ /w. Comme toutes les racines

sont réelles, on a /? f /î — /w, ce qui exclut le signe < des relations (2) ; donc

p = Vf n=]ff V -{:]f = m.

150. Corollaire III. — Toute équation qui ne présente qu'une variation, a une racine positive et une seule.

Cette proposition, déjà démontrée (142), résulte aussi du théorème de Descartes. On voit maintenant que la racine positive est simple.