Puissances de /. — On a
/ - y - 1, i' - — 1, i^ in - — f^^y /^ - /'/- - 1;
ensuite
Donc, /^s puissances de i s^ reproduisent périodiquement de quatre en quatre,
22. Théorème, — La puissance me d'une imaginaire a pour module la puissance me du module et pour argument le produit de V argument par m.
La règle de la multiplication (14) donne immédiatement
\r (cos + / sin 6)]m r™ (cos m^ \ / sin m o).
Si r 1, on obtient \di formule deMoivre (Vitry-le-Français 1667 - Londres 1754):
(cos + i sin o)m cos m o I / sin m o.
23. Représentation géométrique des puissances d'une imaginaire. — Soit {fig. 9) OZi le vecteur de l'imaginaire z /"(cos + /sin 0).
Prenons sur OX le vecteur unitaire OZo et construisons successivement les triangles OZ1Z2, OZ2Z3, ... directement semblables au triangle OZoZ^. Les vecteurs
\J /^f vy^j^ vy^2t ^^^3f ■*•
représentent les puissances
Leurs modules forment la progression géométrique
et leurs arguments la progression arithmétique
Les progressions (1) et (2) définissent un système de
logarithmes ; donc si q et o) désignent deux termes correspondants et a la base des logarithmes, on peut écrire
û> loga Qf Q a^, (3)
Or, co et ^ sont les coordonnées polaires de Tun quelconque des points Zo, Zi, Z,,, ... et l'équation (3) représente une courbe appelée spirale logarithmique ou spirale équlangle. Donc la ligne polygonale Zq Z, Z^ ... est inscriptible à une spirale équiangle.
La ligne brisée Z0Z1Z2Z3 ... porte le nom de myosotis. Les angles ZqZ, Zo, Z1Z2Z3, ... sont égaux entre eux et les côtés ZoZi, ZiZ^^ZgZa, ... sont en progression géométrique.
Si r - 1, le myosotis se change en une ligne brisée régulière ZoAiAgAg...
24. Théorème. — Si dans un polynôme entier en x à coefficients réels, on remplace x successivement par deux Imaginaires conjuguées, les résultats sont des Imaginaires conjuguées.
Considérons d'abord un monôme Ajc^. On a
(a + bî)^
-^am.]-C'^am-ibi-C^am-2b2 CJam-3^3/ + C^ am-4b^ +... -(am -C^ flm-2^2-4-C'J lira -4^4... )L^/(C™ flin-1 C^am-3^2...)
Ce résultat est de la forme P \ Qbl, P et Q désignant des polynômes qui ne renferment que des puissances paires de b. On en déduit en changeant b en — b :
{a — 6/)m p Qbi,
Par conséquent, si A désigne un nombre réel, les valeurs de Arm, pour x ai bl, sont imaginaires conjuguées (ou réelles et égales entre elles).
Considérons ensuite un polynôme à coefficients réels ; quand on y remplace jc successivement par a \ blet par a—bl, chaque terme donne deux imaginaires conjuguées. Donc...
Corollaire. Le théorème subsiste également pour le quotient de deux fonctions entières à coefficients réels.
(•) Le nombre des combinaisons simples de m lettres p k p est représenté par l'un des symboles C^ (préférable à CP), mp, (]J).
Extraction des racines.
25. Théorème.. — Tout nombre (autre que zéro) a m racines m^ distinctes.
Soit ^ - / (cos e' + /sin 6') une racine me de l'imaginaire a r (cos e I / sin ^) ; nous devrons avoir ^" - a ou (22)
/m (cos/we' 4 /sin me') -^ r(cosô -\- /sin o). Cette égalité exige (8, Remarque)
/m r, mi)' -- e i- 2)br, A étant un nombre entier quelconque; par suite
où r™ désigne la racine m' arithmétique de r. On peut donc écrire
"* ~7 . . . ■ M --/^ t 2*Jr . . . 1 2*71^
V, /"(cos I- i sin e) — rm cos 1- /sin \ m m
Cette formule donne pour 1/ a m valeurs distinctes si Ton y fait successivement
en effet, l'argument '-^^ prend les valeurs
2jr e 47r 2(m—\)7i
et deux quelconques des arcs (3) ayant une différence moindre que 2jt, ne peuvent avoir à la fois le même sinus et le même cosinus. Les autres valeurs de k sont de la forme mq \ k\ k! étant Tun des nombres (2) ; les valeurs correspondantes de o' sont
I 2(mq \ k!)7i ^ i) \ 2 k! tt
ZQn \ — f
et par suite ne diffèrent des arcs (3) que d'un multiple de 27ij de sorte qu'on retombe sur les valeurs déjà obtenues
pour Y ût.
Remarque. — Les m valeurs de Kja sont figurées par
les sommets d'un polygone régulier de m côtés.
26. Racines m^ de runité. — Pour obtenir les racines mes de Tunité, il suffit de faire r - 1, o - dans la formule (1). L'expression de ces racines est donc
Qk -^ c^s — h i sm — —- '
où Ton fera k - 0, 1, 3,..., m — L On peut observer que ^k ^v ^^ ^^^^ fl^^ '^^ racines m^ de l'unité sont
Remarque. — Si a désigne l'une quelconque des racines /wes d'un nombre donné, réel ou imaginaire, ces racines sont
a, GQif GQ], . . , QQi f
ou Qi cos — f / sm
