Généralisation de la formule de Moivre. — La

formule (1) du § 25 peut s'écrire

(cos 6 + / sm ô) m - cos i sm

En élevant cette égalité à la puissance p on obtient (coso f /sine) m cos— (e + 2k7i) \ i sin* - (o + 2hi).

Applications de la formule de Moivre.

28. Problème. — Exprimer cos m o et sin m o en fonction de cos e et sin e.

On a la formule (22)

(cos + / sin e)m cos /n o + i sin m o.

Développons le premier membre et égalons ensuite les

parties réelles et les coefficients de /dans les deux membres;

il vient

cos/w cos "10 \ ô cos™-'osin-ft + ...

^ «w-^ fftim — \)(fn — 2) «.o-o.

sin me -r- cos"»-^esm6 ~To\ ^cos"-^sin36+..

29, Problème. — Exprimer les puissances cos^o et sin^o en fonction des sinus et des cosinus des multiples de V angle o.

Posons

cos + ^' sin tt, cos o — / sin o - v]

nous aurons successivement

2 cos e u + v^ 2i sin o -- « — v,

2mcosmo {u + v)^ u^ + mW^-^ V -\ \~n tf""V +...

, m (m — /)o„oi «,11 /i\

H \r~^ — -tt2j,in-2 ^ rnuV^-^ + l'm, (1)

2™/"'sin™0 - (tf — v)"*- //" — /ntf™-VH ~ ' u^-^v^^

i- —.-9— - ^ i' f muV^-^ i i''". (2)

Il y a lieu de distinguer deux cas:

lo m est pair. Il y aura un terme du milieu qu'on obtient

en faisant /z - - dans le terme général Cn u^-^V^ et qui

est par conséquent

m (m — 1). . ( -^ 4" 1 ] îîL ™

1 2 -- Réunissons les termes équidistants des extrêmes; il vient

/7Z(m — 1)... [ 71 i 1 mm

OVj uv -1, «n = cos/20 + /sin/îO, Kn = cos/zo — /sin/îO; donc «n + i^ = 2 cos /zo, w " — u" = 2 /sin /ze, (5)

et les équations (3) et (4) se ramènent à

2™ - * cos™ e = cos iw + -y- cos (/w— 2)0 H — 'y-^ — - cos(m — 4)0

j m(m — l)„.[^ + IJ "• + 2 -^ '

( — l)2 2'"~'sin'"0=cos/ne — ^cos(/n — 2)o

,'«('"- 1) / .w , / mj/n(/n-l)... ('^ + 1

+ \ o ^ cos(/w-4)o... 4- (—1)2^ —