Les équations linéaires, de la forme

P et Q désignant des fonctions de x seul.

L'équation ne change pas si l'on y remplace jr parj'^ -[- et], 'f\ étant une fonction de x définie par l'équation

Elle admet donc le multiplicateur -• On a effectivement

Intégrant, il viendra d'où

7 = Ciri +7) / ^dx.

La fonction auxiliaire t\ qui figure dans cette formule est

une solution choisie à volonté de l'équation (6), qui ne diffère de la proposée que par la suppression du dernier terme. Cette équation s'intègre immédiatement en séparant les variables. Il viendra

d'où

logY) — / P(i^ -{-logCi,

Vdx

7)= Cl

C, désignant une constante arbitraire.

19. Un grand nombre d'équations différentielles peuvent se ramener aux types précédents par des changements de variables.

Considérons d'abord l'équation

dy / ax ^ by -^c

dx ^\a' X ^ y y 4- c'

Si ah' — hd n'est pas nul;, posons

ax ^hy ^ c-=^\^ a' ^ + Z>' j -f- c' = r, ;

d'où

a dx -^ h dy ^^ d\y a' dx -\- b' dy z=l dr\ ,

<ij? = A <i^ -h B <iTi , <ij =: A' <^^ 4- B' dr^ .

L'équation transformée

\-W' dr.

K'd^^Wdri /[\

Ad'ç^Bdr^

sera manifestement homogène.

Soit, au contraire,

ab' — ba'-=z o,

d'où

a'x -\- b'y -h c'= m{ax 4- ^j -h c) -{- n.

Le second membre de l'équation proposée sera de la forme

cp(«^-H by -i-c).

Prenons ax -{- by -\- c ^=1, pour variable nouvelle, à la place de x par exemple. On aura

adx-^b dy = <^?, dx^. - {d^ — bdy),

et l'équation transformée deviendra

ady d^ — b dy ou

dy

Les variables sont séparées. On obtiendra donc j en fonction de ? par une quadrature, et l'équation

donnera la valeur correspondante de x.