HT— S^ RT— S

280. Nous allons appliquer cette transformation à l'équation aux dérivées partielles des surfaces dont les rayons de courbure principaux sont égaux et de signe contraire.

Nous avons donné {Calcul différentiel , n" 337) l'équation du second degré, qui détermine ces rayons de courbure. Égalant à zéro la somme de ses racines, on obtiendra l'équation différentielle cherchée

(iH- ^2),. 2pqs -h{i -\- /f-)t — 0. Par la transformation de Legendre, elle deviendra (8) (H-X-^)R + 2XYS 4- (i 4-y2)T = o.

Différentiant par rapport à X, on trouvera

Mais on a

dP dx

dx-dx' ^-

dP dx ~dY~c?Y'

ÔR d'x

dS dKT

ÔT d^P

'dX~'dX"^'

dX~ âXôY'

âX - ÔY^

dY'-

L'équation (9) peut donc s'écrire

La différentiation par rapport à Y donnerait pour y la même équation aux dérivées partielles. Enfin, en tenant compte de la relation (8), on vérifiera aisément que

^ = PX-f-QY-Z -=1^X4-7 Y-Z

satisfait encore à cette même équation.

Pour intégrer l'équation (10), nous la simplifierons suivant la méthode du n° 274, en remplaçant X, Y par de nouvelles variables indépendantes Ç, Tj, qui satisfassent à l'équation aux dérivées partielles

Cette dernière équation, décomposée en facteurs, donne la suivante :

(II) (i + X^)g+(XY=Fv/-'-X^-YO^-^ = o,

dont l'intégration se ramène à celle de l'équation différentielle ordinaire

^X dY

I +^' XYqi s/- I - X2 - Y=^ ou

(12) (i^X'^)^=.XY=pv/-i-X^-Y'^.

Prenons la dérivée de cette équation et remplaçons-y -rrr par sa valeur; il viendra

d'où

-j^ =: const.

L'intégrale générale de (12) sera donc

= const.,

de sorte que les nouvelles variables indépendantes à prendre seront les suivantes :

+ X- XY -H ^/r X2 — Y*

XY— v/— I— X^ — Y2 1 + ^'

- I +X-^ XY- y/- I -X^- Y^

^ ^ ~~ XY+ v/— I-X2-Y2 ~ I +Y2

Éliminons le radical entre les denx équations équivalentes qui donnent Ç; il viendra

i4-X^+(i-{-Y2)^^-2XY^=:o, d'où

(i4) x^Y\ + sJ-i-l\

On trouvera de même

(l5) X=rYï)H-v/-I — r,^

De ces deux équations on tirera

L'équation (10), exprimée au moyen des nouvelles variables ?, 71, prendra la forme

T d'^x -. dx -T dx

OÙ les coefficients M, N ont pour valeurs

Or ces deux coefficients sont nuls. En effet, l'équation (ii) à laquelle satisfont S et 7| peut aisément se mettre sous les deux formes équivalentes

(.6) (xY±^,X^YOg + (,+Y^)^=o,

(.6)' (-X+ 1 Vii^/'Ym-

au , ,r„v du

X \ du

j X2-YV ^^

Ajoutons à cette dernière équation la dérivée de (i i) par rapport à X et celle de (i6) par rapport à Y ; il viendra

-, du ... du

Prenant successivement pour u les fonctions $, t], on aura M == o. N = o.

L'équation transformée se réduira donc à

et aura pour intégrale générale

*(0 + T(r,), ^ et W étant des fonctions arbitraires.

281. Il résulte de l'analyse qui précède que les surfaces cherchées appartiennent à celles dont les coordonnées peuvent s'exprimer en fonction de deux paramètres $, t\ par des équations de la forme

^— *(^) 4-W(rJ, /=.*,(?)4-^,(-0,

Ces dernières surfaces jouissent de la propriété géométrique d'être engendrées (et cela de deux manières différentes) par la translation d'une génératrice de forme invariable. Il est clair en effet que les courbes r, = const. représentent les diverses positions d'une même courbe déplacée parallèlement à elle-même. De même pour les courbes Ç = const.

Nous allons poursuivre l'étude du problème, pour achever de préciser la nature des surfaces cherchées.

282. Puisque ;r est la somme d'une fonction de ? et d'une fonction de vj, nous pourrons poser

^ = cp'(^)+.y(r.),

cp et tj> étant arbitraires. Gela posé, on a d'oiî

Y étant supposé constant dans l'intégration. Or les équations (i4) et (i5) donnent, dans cette hypothèse.

dX = Yd'^-^ds/-i — V^ = Yd'n -i- d^- I - r;-.

Substituant ces deux valeurs de dX. dans les intégrales correspondantes, etintégrant par parties le second terme de cha-

cune d'elles, il viendra

G désignant une fonction de Y.

Pour obtenir maintenant jk, nous aurons à prendre la dérivée partielle de cette expression par rapport à Y, en supposant que les variables indépendantes soient X, Y. On a, dans cette hypothèse, en prenant les dérivées partielles des équations (i4) et (i5),

ÔY

En tenant compte de ces relations, la dérivée de Z se réduira à

Mais jK doit être de la forme <I>(^) -h ^(71)5 et son dernier

terme -^ est une fonction de Y, qui ne peut être de cette

forme que s'il se réduit à une constante. D'ailleurs on peut fondre cette constante dans la fonction arbitraire cp, de telle sorte qu'on ait simplement

J = <f(|)-$cp'(0+^.(r,)-,,y(n).

La quantité G qui figure encore dans l'expression de Zsera une constante qu'on peut supprimer en la fondant avec les intégrales.

Il ne reste plus qu'à déterminer la quantité

z = Xa^-hYy--Z.

En y substituant les valeurs trouvées de x^ y, Z et tenant

compte des relations (i4) et (i5), il viendra

Nous avons ainsi exprimé les trois coordonnées x, jk, z des surfaces cherchées au mojen des paramètres ^, 7|.

283. Considérons l'équation aux dérivées partielles du premier ordre

OÙ Uj p sont des fonctions données de x, y, z, /?, q, dont l'une au moins contienne p ou q^ et <ï> une fonction arbitraire.

Prenons les dérivées partielles de l'équation. Il viendra

âul

tLhmmant le rapport -^r- I -r-' oii obtiendra une équation ^^ ou ov '■

du second ordre, de la forme

(18) Rr -i- 2Ks -^ ht -h M -}-N{rt — s'-)— o,

où H, K, L, M, N sont des fonctions de x, y, z, p, q.

L'équation (17) du premier ordre est dite une intégrale intermédiaire de cette équation du second ordre.

Réciproquement, étant donnée une équation du second ordre de la forme (18), on peut se proposer avec Monge de reconnaître si cette équation admet une intégrale intermédiaire et de déterminer celle-ci lorsqu'elle existe.

'du

du dp

ôx

di'

.ày

Vày

di> ^^-di

281. Supposons que l'équation (i8) admette une intégrafe intermédiaire (17). Soit V ce que devient le premier membre de l'équation (17) pour une détermination donnée à volonté de la fonction <I>. En changeant $ en <[> — c, c désignant une constante arbitraire, on obtiendra l'équation

comme cas particulier de (17).

Toute solution de cette équation satisfera donc à l'équation (18). Mais elle satisfait en outre aux deux équations

ÔY

dY ôz

ÔY dp

àf

ÔY

dY dp

-ht

àq

\ uv uz uif ai '

obtenues en prenant les dérivées partielles de (19).

Tirons de ces équations les valeurs de r, s pour les substituer dans (18); il viendra

(21) P-hQ^=zo,

en posant, pour abréger,

PrrzHf-^ -^^— - -H— — +/.-

'd^-^'^-di)d7i-^jp\-ù:v^^'Tz

^.(dY ^ dY\ôY ,,fdYY /^V dY

dy ' ^' dzjdp ' ^^^\dpj ''\df ^^ dz

0 = H|^— V"-2K— ^-hL(^ - ^ \àq J dp dq \ dp

^/dY , dY\dY ^/dY dY\dV

-''[dy^'^Tz)dq-''[d^^^Tz)dp'

L'équation (21) doit être une conséquence de l'équation (19). Mais les seules relations indépendantes de la constante c que celle-ci établisse entre ^,JK, z, p, q, r, 5, t sont évidemment les relations (20). Or, si nous supposons que V

/dYY contienne /?, le déterminant (-y-) des relations (20), par

rapport à r et 5, étant ^ o, on ne pourra en déduire aucune relation nouvelle, indépendante de /' et de s; donc l'équation (21) ne pourra subsister que si l'on a identiquement

Ce sont deux équations simultanées du premier ordre, auxquelles la fonction V doit satisfaire. En général, elles sont incompatibles ; mais, si elles ont des solutions communes, chacune d'elles donnera une fonction V, telle que l'équation V=^ c entraîne comme conséquence l'équation (18).

285. Ces équations P = o, Q = o sont du second degré par rapport aux dérivées de V; mais elles peuvent être notablement simplifiées.

En effet, éliminons entre ces deux équations la quantité

dV dV ,. , 11 , .

1 '"/^ '^' ^^^^^^ obiendrons cette nouvelle équation