Considérons l'équation de Liouville

dx dy Posons

11 viendra

âx

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SSq

et, en prenant la dérivée par rapport àjK,

dx dy df djc ^

Cette équation peut s'écrire ainsi

dx\ôy "^ J ou, en intégrant,

l f" (y) Soit ^{y) = -^ .,/ ( une solution particulière de cette

équation; on aura

dy ^ "" ' ^ 2X /''

et ces équations n'apprendront rien sur les fonctions <]> et /, la fonction F étant arbitraire.

Pour avoir la solution générale, posons

u étant une nouvelle variable, il viendra

OU, en multipliant par — du

'^ ^^'^ dv fi y)

36o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITKE III.

Intégrant par rapport ky, il vient

-fiy)

et enfin

-^X/'l/) X/(/)H-cp(^)

du second ordre

, , dz dz â'z

où nous posons, pour abréger, -^= p, -^= q, — — /, ...,

proposons-nous de lui appliquer la transformation de Legendre. Soient

Z—px^qy — z, X=/?, X—q les nouvelles variables, et désignons par P, Q, R, S, T les

dérivées partielles 3â7' ^y' 7^' * * " ' On aura

dLr^ X dp + y dq ^ p dx -\- q dv — dz ^=z X dp -h y dq :=^ X d\ -f- y dY,

d'où

et, par suite,

5r=PX-+-QY-Z.

On aura ensuite

^X = dp — /• dx -+-S dy, dY :=^ dq ~ s dx -{- t dy ,

dx^dV^V.dX-^'^dY, dyz^d(i^^dy.-\-Td\\

et, en éliminant dX et dY,

dx — {Rr -4- bs) dx + (R^ + SO dy, dy — {'^r-^Ts)dx-^{Ss +T0^/; d'où

R/--hS5=:l, R5 + S^=0,

Sr -hT5 = o, S5 +ï^=zi, et enfin

'■— KT-S2' ^~ RT-S^' ^— RT-b^*

L'équation transformée sera donc FfpX+QY-Z,P,Q,X,Y,jj^,j^