Dans le premier cas, les intégrales définies

(l5) j^cp(a,?, ...)/i^/^-<3..., ^cp(a, p, ...)/,^a^?...,- ...

donneront une nouvelle solution, quels que soient le champ de l'intégration et la fonction (p(a, p, . . .). En effet, il est

clair que le résultat de la substitution de ces intégrales, dans l'une quelconque des équations (i i) ou (12), sera

M désignant le résultat de la substitution de/4 5/25 Mais M

est nul, par hypothèse : donc l'intégrale (16); ayant tous ses éléments nuls, sera nulle elle-même.

Cela posé, nous tâcherons de déterminer le champ de l'intégration et la fonction arbitraire cp, de telle sorte que la solution (i5) satisfasse aux conditions (i3). Si nous y parvenons, nous aurons satisfait à toutes les exigences du problème.

5293. Dans le deuxième cas, on substituera successivement dans la formule (i4)) pour les paramètres a, p, . . . , les divers systèmes de valeurs dont ils sont susceptibles; on obtiendra ainsi une suite illimitée de solutions

Nous obtiendrons une nouvelle solution plus générale en posant

(17) Vi=c'v;4-c"V';-i-..., Y2=:rc'v;-Hc"v';+..., ...,

c' , c\ . . . désignant des constantes arbitraires.

Il est clair, en effet, que le résultat de la substitution de ces valeurs dans l'une quelconque des équations (i i) et (12) sera de la forme c' M' 4- c'' M'' + . . . , M', IVF, ... désignant les résultats respectivement obtenus parla substitution des diverses solutions simples. Or M', M'', ... sont nuls, par hypothèse; donc dW -\- d'W -\- . . . le sera, et les séries (1^) donneront une solution.

Il restera à déterminer les coefficients arbitraires c\ c" , ..., de telle sorte que ces séries soient convergentes et satisfassent aux conditions (i3). Le problème sera dès lors résolu.

Nous allons éclaircir cette méthode par quelques exemples.

38o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IIÏ.

294. Propagation de la chaleur dans un milieu indéfini. — On a à intégrer l'équation

^ ^ dt \ dœ^' dy- oz-

jointe à la condition initiale

\] z=^f[x, y, z) pour ^ = 0.

L'équation (18) admet évidemment comme intégrale particulière l'expression

U'r= cos«(^ — X) cosr(/ — [x) cosw{z — v) e"

-(«*-+- t''-»-ii''jrt»/

w, p, w, \^ [JL, V étant des constantes arbitraires. Elle admettra donc comme solution l'intégrale

' / / \}'dLidvdw,

laquelle est le produit des trois intégrales simples

Jf g-«-«-/ cos u{x — 'k)du,

j e^"'"''^ cos ç {y — [J-)<^(%

j e-"^''''^cosw{z —v)dw.

Ces intégrales sont aisées à calculer. Nous avons trouvé, en efl'et (t. II, n« 165), la formule

I e-"y' cos 2 bydy^=\ \/Tt a ^e ".

X — l Changeant dans cette formule jk en u, a en a-t, b en — ^ — >

il viendra

j ^-a*uH C0SU{X — l)du=\ \/tz lf~ '

Calculant de même les deux autres intégrales, il viendra

~a\Jt 9.a\lt o.asjt L'intégrale

u=i- r r rj\\,^,.)\]"d\dixd.

Zî / / / /(>>^,v)U

sera encore une solution.

Cette expression peut se transformer en posant

2a\Jt la^'t ia\lt

Il viendra

Cette valeur de U se réduit pour ^ = o au produit de /(^,jk, z) par les trois intégrales simples

\I-J,^ \Jt.J^ \7:J^

Mais on a

(t. II, n" 163); et de même pour les deux autres intégrales. L'expression U satisfera donc à la condition initiale

U=/(j?,x, g) pour ^ = 0

et sera la solution du problème.

295. Propagation du son dans un espace indéfini. — On a l'équation aux dérivées partielles

382 TROISIÈME PAllTIE. — CHAPITRE III.

avec les conditions initiales

pour ^ = 0.

On peut poser U ^= U' -{- U'^ V et U" étant les solutions obtenues en combinant à l'équation différentielle les conditions initiales

et

Calculons d'abord U'.

On voit immédiatement qu'on satisfait à l'équation au\ dérivées partielles et à la condition initiale U'= o par la solution simple

U' == cosM s'inart,

où nous posons, pour abréger,

M = u{a: — À) -H ç{y — ix)-{- iv{z — v),

On y satisfera plus généralement par l'intégrale (19) V — — ^-^-^ — ces M si 11 art d\ dix dv du dv d^v,

F désignant une fonction de X, a, v, qu'on peut choisir arbitrairement, ainsi que le champ d'intégration.

Les variables u^ v, w d'une part, X, p., v d'autre part, peuvent être considérées comme des coordonnées rectangulaires. Remplaçons u,ç^w par des coordonnées polaires r, 0, cp, ajani pour centre l'origine et pour axe polaire la droite qui joint l'origine au point x — A, y — a, :; — v. Remplaçons, d'autre part, X, UL, V par des coordonnées polaires r', 9'^ cp', ayant pour centre le point x^y, z et pour axe polaire une parallèle aux z.

On aura

X ^ ^ H- r' sin6' coscp',

(jt, r=; j^ H- /•' sin 6' sin cp', V =: ^ H- r'cos6'; Mr=rw(^— X)+(^(/— (x)4-tv(5 — v) — rr' cosO, du dv dw = /•- sin 0 dr d^ ch^ dld[xdv — r'- s\n^' dr' d^' d^' .

L'intégrale deviendra donc

Q F CCS (/■/"' ces 6) s\nartr%\n^dr d{)d'ù r'- ^\u^' dr' d^' d'J .

Supposons que le champ de l'intégration soit pour 9 et B' de o à 71, pour cp et cp' de o à air, pour r et r' de o à co.

Les inlégrations par rapport à (p et 8 pourront s'effectuer en remarquant que sinO<iO=: — âfcosQ. L'intégrale deviendra

4iï ^ F r' sio ri' sin art sin 0' dr' d^' <io' dr

= 2 7: V Fr' [cosr(/''— at) — CQ>sr{r'^at)\ shi^' d^' do' drdr'.

On pourra encore effectuer les intégrations par rapport à r et r' en appliquant la formule de Fourier

/ ^l^f /(P)cos|x(^-^)<:l=.^[/(.x^ + o)-h/(^-o)]

démontrée au t. II, n° 226.

Soit, en effet, ^(a^') une fonction égale à F r' quand /•'^o et nulle quand r' <io. On aura

fOO yO GO

dr Fr' [cos r { r'— at) — cosr {r'-\- at)]dr'

— dr I 'h {r')[cosr{r' — at) — cosr{r'-\- at)]dr'

Cette formule suppose seulement : i° que la fonction (j> a une variation limitée entre — oc et -H oc ou, ce qui revient au même, que Fi' a une variation limitée de o à oc; 2° que l'intégrale

r\<!/\dr'=f'\Fr'\dr'

est finie. Si nous admettons en outre que la fonction F est continue, le second membre de l'expression précédente se réduira, si ^ >> o, à 7z<!^(at), car tj;( — at) sera nul^ si t <io, il se réduira à — tuJ;( — at). Enfin, si ^=0, il se réduira à zéro.

On aura donc, pour toute valeur de t.

F/-' [ces /•(/•'— at) — cos/-(A-'-f- at)] dr' ^:ir.at¥{x -\-at' sin O'coscp', j + at' sinô'sincp', z -{- at' cos^' \

t' désignant le module de t.

iNous obtxînons ainsi, en supprimant les lacleurîs oonalanls, comme solution de l'équation aux dérivées partielles, l'expression

/ I ^F(^-+-a^' sinô'coscp', jH-a^'sin6'sin cp', ^-l-a^'cos6')

X sinô'^O'^'f'.

Pour ^ = 0, cette intégrale s'annule, et sa dérivée se réduit évidemment à

Nous satisferons donc à toutes les conditions du problème si nous posons

F{x,y,z)^-^J,{x,y,z), Nous obtiendrons ainsi, comme solution, l'intégrale dé-

finie double

/ ^/i(^4-a^'sin6'coscp', 7-4-a^'sin6'sincp', <5-f- a^'cosO')

X sinB'^O' Jcp'.