Calculons maintenant U

On satisfait évidemment à l'équation différentielle et à la condition initiale

—— = o pour t=zo

par la solution simple

CCS M cos art,

et plus généralement par l'intégrale définie — ;VF(X, [JL, v)cosM cos art dk d\i, d^ du dv dw

zz: — — ,— X ' - — - cos M sin art d\ du. dw du dv dw dt 2 Tz'^ a ij r

rr -— / / ^F(a7 4- ai'sinG'coscp', j-h ai' sinô' sincp', ^ -H a^'cosO')

X siiiO'(^0'<^cf'.

D'ailleurs, pour ^ = o, cette expression se réduit à

On satisfera donc à toutes les conditions du problème en posant

B ce qui donnera

I d C C \]"-=:——-\ \ i/(^' + ai'sm6'coscp', j-i-ai'sinO'sincp', ^-hai'cosO')

X sin6'<iô'<i'f'.

On aura enfin

Cette solution suppose toutefois, comme on l'a vu d'après J. — Cours, III. 25

la démonslration : i° que les fonctions

ont une variation limitée lorsque le point 1, [ji, v décrit une droite partant d'un point quelconque ^, jk, z de l'espace, et allant jusqu'à l'infini dans une direction quelconque; 2° que les intégrales

f\fr'\dr', f\Ar'\dr'

prises le long de cette droite sont finies.

297. Supposons qu'à l'instant initial il n'existe de mouvement qu'aux environs de l'origine des coordonnées, de telle sorte que les fonctions

soient nulles pour toutes les valeurs de ^, JK, z extérieures à une sphère de rayon e décrite autour de l'origine. Décrivons une sphère de rayon at' ayant pour centre l'origine; on pourra la représenter par les trois équations

^ H- at' sin 6' ces cp' .-= o, r^ + at' sin 6' sin cp' .- o,