I-i-XY
ce qui donnera l'équation aux dérivées partielles
R Ri ~
Les fonctions arbitraires de l'intégration se détermineront parl'équation V= const., jointe aux conditions aux limites.
4-01. Le calcul des variations fournit un procédé commode pour la transformation des équations aux dérivées partielles.
Pour en donner un exemple, considérons, avec Jacobi, l'intégrale triple
■=S[(S)-Kf)'-(£)"]-<'-
Glierclions la variation 81 en supposant le champ d'intégration invariable, ainsi que les valeurs de V et de ses dérivées du premier ordre aux limites du champ On aura
ou, en intégrant par parties les trois termes respectivement par rapport à x^ j', z et remarquant que les termes intégrés s'annulent aux limites,
La condition pour que ol soit identiquement nul sera donc fournie par l'équation aux dérivées partielles
Remplaçons les coordonnées rectangles .r, j', z par un sjs-
CALCUL DES VARIATIONS. S/j]
tème de coordonnées curvilignes orthogonales t^ u^ t^, définies par les équations
ou
Onaura(t.I, n« 530).
d¥ d^ ôF d^ dF d^
da^ dx dy dy dz dz '
d^ d"^ d^ d^v d^ dw
dx djc dy dy dz dz '
dW dF dw dF d^ dV
dx dx dy dy dz dz '
fdFy
fd^y-
fd^Y
dx^ -h dy^
-i-dz''='
dl' dir^
dç^
Enfin l'élément de volume rapporté aux nouvelles coordonnées sera
, , - dtdudv T , 7 7 dx dy dz = — ~ z=z ^ dt du dv,
J =:: — . étant le module du jacobien de x^ jk, z par rap-
y/AAj Aj port à t^ u^ V.
On a d'ailleurs
dx dt dx du dx dv dx
^ — ^^ ^ ^î àW dW ^ dz "" dt dz du dz dv dz^
542 TllOISIÈMK PARTIE. — CHAPITRE IV.
d'où, en tenant compte des relations précédentes,
/dyy fdvy fdyy j'à^y , fdyy , fdvy fej ^fe) -K^^) ^'-"U) -^^<57j -'-'\,y) •
L'intégrale I, rapportée aux nouvelles variables t, w, r, deviendra donc
S[KÎ)"'--'(£)"--'(S)']—
Le champ de cette nouvelle intégrale sera invariable comme celui de l'intégrale primitive, ainsi que les valeurs de V,
— ? ^ ? -T- aux limites du champ.
di du ov ^
Exprimons que 81 s'annule da.ns ces conditions. On aura
81 — 2 V UJ V s -^- ^ • - . -H A, J V 8 4- U^ ^^ ^^
ou, en intégrant par parties les divers termes de cette expression et remarquant que les termes intégrés s'annulent aux limites,
81 =. - 2 Q f 4- AJ ^ H- . . . -h -f- A. J ~\ 8V dt du dv.
\J\àt ôt dv - dv J
La condition pour que ôl s'annule identiquement sera donc
— Aj - - ^- -r- Al J -— -h -— A, J -— — o. oi Ot ou ou 0K> ôv
Cette nouvelle équation est donc équivalente à l'équation (5), dont elle sera la transformée»
Fm DU TOME TROISIÈME ET DERNIER.
22169 Paris. — Impr. GAUTUIER-VILLARS ET FILS, quai des (;raiids-Aui;uslins. 65.
-JP-^J^
14 DAY TTSF
