a, Ui, U.2, V, V
On aura, pour tous les systèmes de valeurs des variations qui laissent subsister cette équation,
81 == 0 V cp (i^ <ij — 0 V (cp -f- )4) dx dy,
"k étant une fonction arbitraire de forme invariable.
La variation de cette dernière intégrale pourra se mettre sous la forme
A A' 8^^ -f- B' 8(^ 4- . . . -f- D' 8^ 4- E' 8/ ) ds
-+- ^ (M' 8w ^ N' S(^ H- . . . ) dx dy.
Déterminons l'auxiliaire X par l'équation M'rrt: o. L'intégrale double se réduira à
§(IN'8^4-...)rfxrfy.
Il est clair d'ailleurs que 8(\ . . . pourront être choisis à volonté sans que l'équation 6 -~ o cesse d'avoir lieu. Donc on devra avoir N' =^7 o, . ...
Reste l'intégrale simple, qui devra s'annuler tant que l'équation ^ =r^ o subsistera. Or les variables sont encore liées par cette équation à la limite du champ. Si cette équation contient les dérivées partielles ?^,, i/o, ^n ^2? •••^ elle n'apprendra rien sur les variations 8x, 8y, ^z, 8«, de sorte qu'on devra avoir
A'::.rO, ., . . , E' :r= O.
Mais, si elle ne contient que x, y, u, i^^ . .., il suffira, d'après le cas précédemment examiné, de poser sur la courbe limite
A'=.),'f^, B'-.-.yp^, ....
da^ oy
D'=rA' -1 H- «, --I hC, — ^
\ox au ou
V étant une nouvelle inconnue auxiliaire.
4" Supposons enfin que «, t^, ... et les limites soient astreints à varier de telle sorte qu'une intégrale donnée
K = W di dx dy conserve une valeur constante c. On verra,
comme au n" 361, qu'on doit avoir identiquement
X désignant une constante.
On aura donc à former les équations qui annulent la variation de l'intégrale double
I ^- XK r:-: ^ (o -f- ÀJ;) dx dy,
auxquelles on joindra la condition donnée K -- c, qui déterminera X.
399. Nous allons aj3pliquer les considérations qui précèdent à la solution du problème suivant, rencontré par Gauss dans la théorie de la capillarité :
Déterminer la forme d' équilibre d'un liquide contenu dans un vase de forme donnée.
Soient
V le volume du fluide supposé donné; (7 l'aire de sa surface libre ; S celle de la paroi mouillée ;
H la hauteur du centre de gravité du liquide au-dessus du plan horizontal des xy.
On obtiendra la surface cherchée en rendant minimum l'expression
a4-«S + èVH,
où a et b sont des constantes.
Soient
z l'ordonnée de la surface libre;
p^ q^ r, s, t ses dérivées partielles première et seconde;
Z, P, Q Pordonnée de la paroi et ses dérivées partielles.
On aura
ff — V V^ i H- p- -t- q~ dx dy,
2 z:=z C y/Tn^PM^Q^- dx dy,
Nous aurons donc à annuler la variation de l'intégrale
CALCUL DES VARIATIONS. 53y
double
I ^ Q Ï^T^^''^^^ H- a v/ih^'P^TQ^ -i-~iz^~Z^)\dx dy
= V cp dx dy
avec les conditions : i° que l'intégrale V soit constante; 2" qu'on ait aux limites du champ l'équation de condition
Nous aurons à former la variation
ou
I 4- X V) r^ A A 8^ -f- D Ix + E 8/) ^5 4- Q M lu dx dy,
A =::. ^ 0.09. NX -4- -^^ m^ NY
D=--cpcosNX, E — cpcosNY,
{i-^ q^)r — 2pqs-^ {i-j- p'*')t {\-\-p'^q^Y
L'équation aux dérivées partielles de la surface libre cherchée sera donc
Cette équation est susceptible d'une interprétation géométrique remarquable. En effet, le dernier terme de M est égal
à^-f-^?RetR, désignant les deux rayons de courbure
principaux. On aura donc
Passons à la considération de l'intégrale simple. On a, le long de la courbe limite, ^ ==: Z, ce qui réduit cp à ses
deux premiers termes
On déduit d'ailleurs de cette équation aux limites la relation suivante :
^z -^ p ^x -h q oy—V ^œ -{- Çl S/.
Tirant de là la valeur de oz pour la substituer dans l'intégrale^ puis égalant à zéro les coefficients de ô^ et de 8y, il viendra
( 77 cosNXh-<7 cosNY .^ . -,^
i (P — y:») 4- cpcosNXrrzo,
^~''^ 1 «cosNX-i-^cosNY^^ , ,,^
1 i- — ^ (Q — ^) + ? cosNY — o.
On a d'ailleurs évidemment, en désignant par x, r, z et X -t- dxj y -\~ <^J'y z -{- dz deux points infiniment voisins de la courbe limite,
^^^ dy TVTAr dx
COS]NX=::r ^f , COsNYr---
as as
el
et enfin
dz rz^ p dx ^ q dy r=^V dx ~\~ Q dy ; {V-~p)dx-\-{(l~-q)dy^o .
(P — /?) COsNY -r::: (Q — ^) COsNX.
La première des équations (4) deviendra donc, en éliminant cosNY et supprimait le facteur cosNX,
Si'i-^p-'-hq
ou
ou enfin
COSZ + <2 = o,
i désignant l'angle des plans tangents à la surface libre et à la paroi du vase. Cet angle sera donc constant.
La seconde équation redonnera ce même résultat en éliminant cosNX et supprimant le facteur cosNY.
400. Cherchons encore à déterminer les surfaces d'aire minima. Il faudra annuler la variation de l'intégrale
I rrz ^ y/* "^jP"^ "^ ^Û ^^ ^y- Posant a =: Z> =^ )v := o dans les calculs précédents , on aura
81 :--- / [a 0^ -h \J i -i-/j- -4- (f^ (ces NX 0^ -\- cosNY 8y)] ds
-S(r + ïï;)^^''^''-
L'équation aux dérivées partielles des surfaces cherchées sera donc
s + ïb'^"'
ou
R H- Ri :^ G.
Cette équation a été intégrée au n" 280.
Si l'on donne le contour qui limite le champ et la valeur de z en chacun de ses points, on aura à la limite ox -~ o, oy=:o, Zz-z=:o^ et l'intégrale simple disparaîtra d'elle-même. Mais les valeurs limites des trois variables donneront une courbe par laquelle doit passer la surface cherchée, et l'on aura à déterminer par cette condition les fonctions arbitraires que l'intégration a introduites.
Si une portion de la courbe limite est inconnue, mais assujettie à se trouver sur une surface donnée z ~- Z, on aura, pour l'angle i sous lequel la surface inconnue vient la rencontrer, l'équation
COSir-Q,
laquelle montre que les surfaces se coupent à angle droit.
54o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
Supposons enfin qu'on demande la surface d'aire minima qui renferme un volume donné Y. On aura à annuler la variation de l'intégrale
