I. — Notions préliminaires

1. Nous avons vu daus le Calcul différentiel (Chap. I, § XIII) que, lorsqu'on a un certain nombre de relations entre une ou plusieurs variables indépendantes ^< , œ.^f . . . et des fonctions ^1,^21 • • . de ces variables, on pouvait, en combinant ces équations avec celles qui s'en déduisent par dérivation, en déduire une infinité d'équations différentielles auxquelles satisfont ces fonctions.

Il nous reste à traiter le problème inverse, en cherchant à remonter des équations différentielles aux relations qui existent entre les variables elles-mêmes.

J. — Cours, III. 1

Nous nous occuperons d'abord des équations difTérentielles ordinaires, où ne figure qu'une variable indépendante x.

2. Soit proposé un système de f7i équations différentielles entre x et m fonctions jki, • • -, ym de cette variable. On pourra, par l'introduction de variables auxiliaires, ramener le système proposé à un autre système équivalent, où ne figurent que des dérivées du premier ordre.

En effet, supposons, pour fixer les idées, que nous ayons deux équaiions différentielles simultanées

^ / dV J2 y ^3 y

dz d^z\

\ '-^ d.v dx- dx^

' dx' dx^)~

^ l dy d'y d'y

dz d^z\

^X^^'^-dx' dx^' dx^'--

' dx' dx^)~

Posons

dy , d^-y

On aura é\idcmment

dx-'^' dx''^'

' dx'-"'

, àz'\

r^ 1 , „ dy"

, dz'\

¥Ax,y,y,y% ^^^.z,

Ces cinq équations différentielles forment un système manifestement équivalent aux deux équations primitives, mais où ne figurent plus que des dérivées du premier ordre.

3. Considérons donc un système simultané de ni équations du premier ordre

^ / dv dz du \

-^ / dy dz du \

entre la variable indépendante ^ et m fonctions inconnues j-,

Si parmi ces équations il en figure une, F = o, qui ne contienne pas de dérivée, soit jk une des variables qu'elle contient, l'équation résolue par rapport à y donnera un résultat de la forme

(i) 7 = cp(^,5, w, ...).

On en déduit

dy ^cp d'^ clz ()'f du

dx dx dz dx du dx

Substituant ces valeurs dans les équations Fi = o, Fa — o, ...,

on aura un système àe m — i équations dilTérentielles pour déterminer les m — i variables z, u, ... ; on calculera ensuite y par l'équation (i).

Supposons, au contraire, que l'équation F = o contienne

dy , au moins une dérivée, telle que -j- • Résolvant par rapport à

cette dérivée, il viendra

dy .[ dz du

Substituons cette valeur dans les équations suivantes; on obtiendra un système

^ /• dx " '''

( dz du

équivalent au proposé.

Si l'une des équations cp, = o, ... ne contenait aucune dérivée, on pourrait s'en servir, comme il a été expliqué,

pour éliminer une variable et ramener l'étude du système proposé à celle d'un système de m — i équations différentielles seulement.

Si, au contraire, l'équation (f\=^o contient une dérivée -^ ?

on en déduira

dz . / du

ei l'on substituera cette valeur dans les équations suivantes. Continuant ainsi, on arrivera à mettre le système sous la

forme

dy ^ dz ^ du

dx~-^' dx-'f'' dx--^^'

, dy . dz ni

//ne contenant plus -7-? /i ne contenant ni -r- m -^—j •^ ' ^ dx "^ dx dx

Portant maintenant dans chaque équation les valeurs des

dérivées fournies par les équations suivantes, on obtiendra

un nouveau système d'équations, de la forme suivante :

dz

Un système d'équations simultanées du premier ordre, ainsi résolu par rapport aux dérivées, est dit ramené à sa forme normale.

On voit, par ce qui précède, que l'étude d'un système quelconque d'équations différentielles simultanées peut être ramenée à celle d'un système normal. Le nombre des équations de ce système normal équivalent au proposé servira de définition à Vordre de ce dernier.

En particulier, si l'on n'a qu'une équation différentielle

dJ^^-JV'^'dx' ■"' dx"'-'

elle sera équivalente au système normal

dy , dy^-'' ^^ .

dx ~-' ' '"' dx'"-'- •' '

Son ordre sera donc égal à m,

4. D'un système de m équations différentielles entre x et les m fonctions y^ z, u, . . ., on peut déduire, ainsi que nous allons le voir, une équation différentielle où ne figurent que a; et j^.

En général, le nombre des équations données n'est pas suffisant pour éliminer z, u, ... et leurs dérivées. Mais, si nous prenons la dérivée de chacune des équations données, nous obtiendrons m équations nouvelles, en introduisant au plus m — I inconnues de plus, à savoir une dérivée nouvelle de chacune des fonctions ^, î«, . . . . En répétant celte opération, on arrivera évidemment à se procurer assez d'équations pour effectuer l'élimination.

Considérons, par exemple, un système de trois équations

F — G, Fi = o, F2 = o

entre ^, jk, z, u. Supposons que l'ordre de la plus haute dérivée de chaque variable, dans chacune de ces équations, soit donné par le Tableau suivant :

Différentions les trois équations respectivement A, A,, Aa fois. Nous obtiendrons ainsi un total de A + A, + Ao -j- 3 équations, entre lesquelles on aura à éhminer z et ses B premières dérivées, u et ses G premières dérivées, B désignant

/Il

Px

le plus grand des nombres A + n, Ai -j- /^^ , A2 4- 712, et G le plus grand des nombres A + />, A<-f-/?i, k^-^ p2\ soit en tout B -i- G + 2 inconnues.

En thèse générale, l'élimination ne pourra se faire que si le nombre des équations surpasse celui des inconnues. On devra donc avoir

A+ Ai4-A2^Bh-G

et, comme on a

B^Ai4-/ii, G^Ai4-/?j, > ,

B = A2 4-/^2, G^A2-+-/?2, on en déduit

A = /li+/?2, A=/22-f-/?i.

On voit de même que A, est au moins égal au plus grand des deux nombres n-\- p2, n^-^-p, et Ao au moins égal au plus grand des nombres n -^ p^, n^-\- p.

Il est d'ailleurs aisé de voir qu'en prenant A, A<, Ao précisément égaux aux limites inférieures trouvées ci-dessus, on aura juste le nombre d'équations nécessaires pour l'élimination.

Soit en effet, pour fixer les idées,

B =1 A H- /i ^ Al 4- /Il r A2 -h /^2. On en déduira

d'où

B = A 4- /^ = Al -I- /Il ;

et, d'autre part,

A-hp = p 4- /ii^ pi= A.2 4-/>2-

On trouvera de même

ki-\-Pi<ki-^ Pz ou =A-f-/?, suivant que A, sera égala n -\- p2 ou â 112-^ p-

On aura donc, dans tous les cas,

G== A2 + /^2>Ai+/?i^A H-/?, et, par suite,

B H- G = Al + /Zi 4- A2 -+- /?2 = A -h Al 4- Ag.

En donnant à A, A^ Ag les valeurs ci-dessus, on aura donc une équation de plus qu'il n'est nécessaire pour déterminer z, u et leurs dérivées au moyen de y et de ses dérivées. Ces valeurs, substituées dans la dernière équation, donneront une équation finale ne contenant quejK, et ses dérivées jusqu'à l'ordre D, D désignant le plus grand des nombres A + m, Al 4- /»o AsH- /??o.

Ce nombre D, qui représente l'ordre du système, sera évidemment égal au plus grand des nombres m -\- /ii -{- p^, /?i, 4- ^ + /J>2, • • -5 qu'on obtient en associant ensemble trois nombres du Tableau (2) appartenant à la fois à des horizontales et à des verticales différentes.

5. Ce résultat, qu'on étendrait sans difficulté au cas d'un nombre quelconque d'équations, peut se trouver en défaut si z, u et leurs dérivées figurent dans les équations proposées de telle sorte que l'élimination puisse se faire avant qu'on ait formé toutes les équations auxiliaires qui paraissent au premier abord nécessaires, d'après le nombre des quantités à éliminer.

On obtiendra, même dans ce cas, une équation finale euy de la forme

mais ^, u, au lieu d'être immédiatement donnés en fonction de j' et de ses dérivées, pourront être déterminés par de nouvelles équations différentielles, de la forme

d^z ( dy d'^'-^z dl^'-UiX

d^'u ( dy d^^-'^z d^-

I dy

dx^ " ^n '*^ ' dx' ' ' • "' dx^-^ dxV--^

Eliminant u entre ces équations par la répétition du même procédé, on arrivera à faire dépendre l'étude du système primitif de celle d'un système de la forme suivante :

cViii . (

' dx^-'j'

'^'■■•'^^MJ'

dr- , ^, . . ., Il, . . . ,

6. Considérons, en particulier, les fonctions déterminées par une équation différentielle

/ dv d^y\

algébrique par rapport a x, y, . . . , j-^-

Toute solution d'une semblable équation satisfait évidemment à une infinité d'équations analogues résultant de la combinaison de F et de ses dérivées.

Réciproquement, soit jk une fonction de x qui satisfasse à une série d'équations différentielles algébriques

F := G, Fi = G, ....

Toutes ces équations résulteront de la combinaison de l'une d'entre elles avec ses dérivées.

Considérons, en effet, parmi toutes les équations de ce genre auxquelles j^ satisfait, celles dont Tordre est minimum, et parmi celles-ci choisissons celle où la plus haute dérivée est élevée à la puissance minimum. Soient a et pi cet ordre et ce degré, F = o l'équation correspondante; F) = o une autre équation quelconque du système.

De l'équation F = o et de ses dérivées on pourra déduire les

valeurs de ^^. , •••et des puissances de -i-^ de degré ^ jjl

dv d^y /d^y\\'-~^

en fonction rationnelle de ^, JK, -j- ^ • • ■' 77^' ' ' '^ \77~^ )

Substituant ces valeurs dans Fi, on obtiendra une nouvelle équation $ = o, qui ne contiendra plus que x^ y^ -^ -> • • •>

d^' '"' Vd^J ' ^^^'^' d'après notre hypothèse, y ne satisfait à aucune équation de ce genre. Donc l'équation 0 = 0 est une identité.

Nous dirons que la fonction jk est une solution propre de l'équation F = o et une solution impropre des autres équations F, = G, .. .; et nous appellerons ordre de la fonction l'ordre de l'équation F = o.

D'après cette définition, les fonctions algébriques seront d'ordre zéro; les fonctions d'ordre >> o seront transcendantes.

Une équation différentielle algébrique F= o est dite irréductible, si elle n'admet que des solutions propres

7. Soient jk, ^, ... des solutions des équations différentielles algébriques

/ dy d^y\

(3) {^ / dz d^z\

de degrés tj., v, . . ., par rapport à -7-^5 — z^

^ "^ clûc i

Soient, d'autre part, Y, Z, ... d'autres fonctions satisfaisant à des équations analogues

Supposons qu'il existe entre ces diverses fonctions et leurs dérivées une relation algébrique

Si nous éliminons Y, Z, ... entre cette équation et les équations (4), nous obtiendrons une équation différentielle

lO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

G = o entre jr, s, . . . , qui représentera la condition nécessaire et suffisante pour que ces fonctions, associées à des solutions convenablement choisies des équations (4), satisfassent à l'équation ^F = o.

Si donc l'équation G = o n'est qu'une conséquence des équations (3) et de leurs dérivées, tout système de solutions de (3), associé à un système convenable de solutions de (4), satisfera encore à l'équation ^^z=o.

Ce cas se présentera nécessairement s'il n'existe entre les solutions y, z, . . . , primitivement données, aucune relation algébrique de la forme

oii -T-^> -7-^? ••• figurent avec des degrés respectivement infé

rieurs a

En effet, au moyen des équations (3) et de leurs dérivées, on peut éliminer de G les dérivées ~ , •••, — ^— ^j •••

et les puissances ( -7-^ ) ' (;r^) ' ^" obtiendra ainsi

une équation de la forme (5), laquelle devra, par hypothèse, se réduire à une identité.

8. Comme application des considérations qui précèdent, cherchons la forme la plus générale des relations algébriques qui peuvent exister entre des intégrales abéliennes jKi, ..., Vm définies par les équations différentielles algébriques

Soit

une semblable relation. Nous pouvons évidemment admettre

qu'il n'existe aucune relation de même nature entre les fonctions jKi , . • • , ym-i et la variable indépendante.

L'équation (6), résolue par rapport à jKm, pourra s'écrire

D'après le théorème précédent, cette équation subsistera si l'on y remplace j'<, ..., j^w i par des solutions quelconques des équations Fi, ..., F^-i, pourvu qu'on remplace en même temps jKm pai' ^me solution convenable de l'équation F„i. Mais il est clair que les solutions de chacune de ces équations s'obtiennent toutes en ajoutant à l'une d'elles une constante d'ailleurs arbitraire. On aura donc

Cl , . . . , Cm-\ étant des constantes arbitraires, et c,„ une autre constante, dépendant de celles-là.

Prenant la dérivée de cette équation par rapport à la constante Ci, il viendra

dc„i dcp(^, r,-4- Cl, . . .) ()cp(.^, ri + c^,, . . .) et, en posant c< = . . . = Cm-i = o,

-r : — Al,

àyi

ki désignant la valeur constante que prend dans cette hypothèse la dérivée -t-^«

Cette dernière équation doit se réduire à une identité, puisque nous supposons que x, y^, ..., jKm-< ne sont liées par aucune relation algébrique. On aura de même identiquement

ÈL-k ^? - k

Ofi Of,n-l

^2, . . . , km^i étant des constantes. On en déduit

X étant une fonction algébrique de x. La relation cherchée sera donc de la forme

9. Ces préliminaires posés, il nous reste à indiquer les procédés par lesquels on peut intégrer une équation différentielle (ou un système de semblables équations), c'està-dire déterminer ses solutions.

Il est aisé de voir, par des exemples, que ce problème est indéterminé.

Considérons, en effet, une équation

entre la variable indépendante x^ la fonction j^ et la constante arbitraire c. On en déduit par différentiation

(8) . ^d.+ ^^dy^o.

Tirons la valeur de c de l'équation (7) pour la substituer dans (8); il viendra, en représentant par des parenthèses le résultat de cette substitution,

(9) (g:)rfx+(|î)rf/ = o.

Cette équation différentielle admet pour solution la fofaction j^, définie par l'équation (^), quelle que soit la constante c. A chaque valeur de cette constante répond une solution particulière. L'ensemble de ces solutions se nomme la solution générale.

Pour reconnaître s'il existe d'autres solutions, en dehors de celles que nous venons de déterminer, introduisons une

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. l3

variable auxiliaire c définie par l'équation (7). Cette équation différentiée donne

do . do . â'^ j -^dx -^ ~- dy -^ ~dc=:o, dx df ^ de

ou, en substituant pour c sa valeur tirée de (7),